Programma dettagliato - A.A. 2006-07
Avvertenze:
- I riferimenti a capitoli e paragrafi sono relativi al testo: G. Crasta, A. Malusa - Matematica 2. Teoria ed esercizi (Pitagora Ed., 2004). Per gli studenti che hanno seguito il corso nei precedenti anni accademici, fare riferimento al programma svolto l'anno accademico 2005-2006.
- Quando non diversamente specificato l'indicazione di un paragrafo sottintende tutti i sottoparagrafi di cui esso è costituito.
- Si raccomanda agli studenti di svolgere gli esercizi posti alla fine di ogni paragrafo.
CALCOLO INFINITESIMALE PER LE CURVE
Definizioni: curve nel piano e nello spazio: sostegno della curva e orientamento indotto dalla parametrizzazione, curve equivalenti, vettore tangente, curve regolari, curve regolari a tratti. Lunghezza di un arco di curva e parametro arco.
Cap. 1 Par. 1.1, 1.2.
FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
Definizioni topologiche fondamentali: intorno sferico, insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi, punti interni, di frontiera, isolati, di accumulazione. Dominio di una funzione di più variabili e sua rappresentazione nel piano nel caso di funzioni di due variabili, grafico, curve di livello.
Limiti e continuità: definizione di limite, esempi di calcolo di limiti, analisi delle forme di indeterminazione. Definizione di continuità e suo studio.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori reali: derivate parziali e loro interpretazione geometrica, differenze con il caso unidimensionale; la nozione di differenziabilità, piano tangente al grafico, approssimazione lineare, condizione sufficiente affinché una funzione sia differenziabile. Gradiente, derivate direzionali e formula del gradiente, direzioni di massima e minima crescita, ortogonalità del gradiente alle linee di livello, calcolo delle derivate, derivazione delle funzioni composte. Derivate successive e teorema di Schwartz. Polinomio di Taylor in due variabili.
Cap.2 Par.2.1, 2.2, 2.3, 2.4. Par. 2.5 solo formula (2.14) e successiva discussione.
PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE
Estremi assoluti, teorema di Weierstrass, estremi relativi. Estremi liberi nel piano: teorema di Fermat e ricerca dei punti critici. Definizione di matrice hessiana. Forme quadratiche definite e indefinite. Studio della natura dei punti critici per una funzione di due variabili mediante l'analisi della matrice hessiana nel caso bidimensionale; caso a dimensione maggiore di due. Estremi vincolati: caso di frontiera in forma parametrica e in forma implicita, teorema della funzione implicita, metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Cap.3 Par.3.1, 3.2 (no Teorema 3.16; solo cenni delle dimostrazioni dei Teoremi 3.14 e 3.17), 3.3, 3.4, 3.5, 3.6.
INTEGRAZIONE MULTIPLA
Integrali doppi: definizione, domini normali rispetto all'asse x o rispetto all'asse y. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli: integrazione per fili e per strati, cambiamenti di variabili negli integrali tripli. Applicazioni fisiche e geometriche dell'integrale multiplo: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro e dei momenti di inerzia. Simmetrie ed integrali multipli.
Cap.5 Par. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7
INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE
Cap. 6 Par. 6.1.
CAMPI VETTORIALI
Definizione di campo vettoriale ed esempi. Lavoro di un campo vettoriale (integrale di linea di seconda specie). Campi vettoriali conservativi e potenziali: definizione, teoremi principali, condizione necessaria affinché un campo sia conservativo, esempi. Definizione di insieme semplicemente connesso e condizione sufficiente affinché un campo sia conservativo. Formula di Gauss-Green e applicazioni.
Cap.6 Par. 6.2, 6.3, 6.4.
SUPERFICI E INTEGRALI SUPERFICIALI
Superficie regolare parametrica. Area di una superficie, superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo attraverso una superficie. Divergenza di un campo, teoremi di Gauss e di Stokes.
Cap.7 Par.7.1, 7.2, 7.3, 7.4.