Registro delle lezioni a.a 2009/10
AVVERTENZA: Per la parte di Metodi Probabilistici (Prof. Matucci) le indicazioni di capitoli e paragrafi si riferiscono al testo: P. Baldi, "Introduzione alla probabilità con elementi di statistica", McGraw-Hill (2003).
22/09/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Introduzione al corso: programma e modalità di esame. Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO): notazione e definizioni. Forma normale, EDO autonome, EDO lineari.
23/09/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
EDO: soluzione generale, soluzione particolare, soluzione singolare. Metodi risolutivi per EDO a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari.
24/09/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Fenomeni deterministici ed aleatori. Spazi di probabilità: definizione di spazio campionario, eventi, σ-algebra, probabilità; proprietà elementari di una probabilità. Probabilità uniforme su uno spazio di cardinalità finita. Esempi. Probabilità condizionale. [Cap.2 Par.2.1, 2.2 e 2.3 fino pag.30.]
29/09/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Esercizi su EDO del I ordine (lineari, variabili separabili, omogenee). EDO del I ordine del tipo di Bernoulli, EDO del I ordine esatte.
30/09/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
EDO del I ordine: soluzione tramite fattore di integrazione. Significato geometrico, il campo vettoriale associato. Introduzione al Problema ai Valori Iniziali (PVI): la caduta della particella pesante.
01/10/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Formula delle probabilità totali, formula di Bayes, eventi indipendenti. Esempi di applicazione al calcolo dell'affidabilitàdi sistemi. Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni. [Cap.2 Par.2.3 e 2.4]
06/10/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Il Teorema di esistenza ed unicità per il PVI (Teorema di Cauchy) per le EDO del primo ordine, con il metodo delle iterate di Picard. La formulazione del PVI in R^n.
07/10/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Esempi di PVI con soluzione non unica. Esempi di PVI con soluzione non globale sul dominio di definizione. Modelli matematici in teoria delle popolazioni: il modello Malthusiano.
08/10/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Esempi di uso del calcolo combinatorio per eventi in spazi con probabilità uniforme. Variabili aleatorie: definizione e proprietà generali. Variabili aleatorie discrete: funzione di densità discreta di probabilità (distribuzione discreta di probabilità) e funzione di ripartizione di una v.a. e loro legame. Distribuzioni di Bernoulli e distribuzioni binomiali. Esempi. [Cap.3 Par.3.1 e 3.2 fino pag.42]
13/10/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Modelli matematici per EDO del I ordine: il modello Malthusiano ed il modello logistico, soluzione esplicita ed analisi qualitativa.
14/10/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
EDO del II ordine: metodi per l'integrazione di alcuni casi particolari: y"=f(y',y); y"=f(y';x); y"=f(y). Spazi lineari di funzioni.
15/10/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Distribuzione ipergeometrica e confronto con la distribuzione binomiale. Esempi. Distribuzione geometrica e proprietà di mancanza di memoria. Distribuzione di Poisson come limite di una distribuzione binomiale (numero di prove molto grande e probabilità di successo molto piccola). Variabili aleatorie discrete multidimensionali: definizione, densità di probabilità congiunta e densità marginali. [Cap.3 Par.3.2 e 3.3 fino pag.51]
20/10/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
EDO del II ordine lineari: soluzione generale per le equazioni omogenee e per le equazioni complete. Teorema di esistenza ed unicità per il PVI (enunciato). Il teorema del Wronskiano ed il teorema di Abel.
22/10/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Esempi di v.a. multidimensionali: la distribuzione multinomiale. Variabili aleatorie indipendenti e legame tra la densità congiunta e le marginali. Densità condizionale. Funzioni di variabili aleatorie discrete: definizione e calcolo di densità. Esempi di calcolo di densità: somma di v.a. indipendenti di Bernoulli, somma di v.a. indipendenti binomiali, somma di v.a. indipendenti con legge di Poisson. [Cap.3 Par.3.3 e 3.4]
27/10/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Dipendenza ed indipendenza lineare di due funzioni. Relazione con il Wronskiano. Formula risolutiva per le EDO del II ordine lineari, omogenee, a coefficienti costanti.
28/10/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Esercizi: soluzioni generali e PVI per EDO lineari del II ordine, omogenee, a coefficienti costanti. Introduzione all'analisi qualitativa:l'oscillatore armonico.
29/10/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Valore atteso (o media o speranza matematica) di una v.a. discreta unidimensionale. Valore atteso di funzioni di v.a.. Principali proprietà: valore atteso di una combinazione lineare, di un prodotto di v.a. indipendenti, proprietà di monotonia. Esempi: valore atteso di una v.a. con distribuzione di tipo Bernoulli, binomiale, Poisson, ipergeometrica, geometrica. Momenti e momenti centrati di ordine k. Varianza: definizione e principali proprietà (varianza di una combinazione lineare). Deviazione standard, covarianza e coefficiente di correlazione. Esempi: varianza di una v.a. con distribuzione di tipo Bernoulli, binomiale, Poisson, ipergeometrica, geometrica. Esempio di applicazione alo studio di investimenti finanziari. [Cap.3 Par.3.5 e 3.6 escluso disuguaglianza di Chebyshev]
03/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Soluzioni per il PVI dell'oscillatore armonico. Il piano delle fasi e le orbite. Introduzione al concetto di stabilità rispetto ai dati iniziali.
04/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
L'equazione lineare per il "punto sella". Soluzione per il PVI. Il piano delle fasi e le orbite. Definizione di stabilità secondo Liapunov.
05/11/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Disuguaglianza di Chebyshev. Convergenza in probabilità e legge dei grandi numeri. Esempi ed esercizi riepilogativi sulle v.a. discrete. [Cap.3 pag.66 e Par.3.7]
10/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Oscillatore armonico smorzato: caso debolmente smorzato. Soluzione e studio del suo comportamento, analisi qualitativa e piano delle fasi
11/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Oscillatore armonico smorzato: caso fortemente smorzato. Soluzione e studio del suo comportamento, analisi qualitativa e piano delle fasi
12/11/09 - Prof. Borgioli - 3 ore
Stabilità lineare: proprietà dei sistemi di EDO lineari; criterio di stabilità lineare. EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti non omogenee: soluzione con il metodo dei coefficienti indeterminati.
17/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Esercizi su EDO II ordine non omogenne. Modelli matematici: oscillatore armonico smorzato e forzato; risonanza lineare.
18/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Modelli matematici: oscillatore armonico forzato; battimenti e risonanza. Metodo di variazione delle costanti per la ricerca di una soluzione particolare di EDO lineari del II ordine non omogenee.
19/11/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Variabili aleatorie continue: funzione di ripartizione, densità di probabilità e loro proprietà. Esempi: distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale e proprietà di mancanza di memoria. Quantile di ordine α. Funzioni di v.a. continue; esempi di calcolo di densità per le v.a. X2 e aX+b, nota la densità di X. V.a. indipendenti. V.a. congiunte, funzione di ripartizione e densità congiunta, densità marginali e loro legame. [Cap.4 Par.4.1 e 4.2]
24/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Esercizi su EDO lineari del II ordine non omogenee con il metodo di variazione delle costanti. EDO II ordine non lineari: l'equazione del pendolo.
25/11/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Piano delle fasi del pendolo non lineare. Criteri di stabilità: il criterio di stabilità in prima approssimazione (caso semilineare) ed il criterio della funzione di Liapunov.
26/11/09 - Prof. Borgioli - 3 ore
Criteri di Liapunov per stabilità asintotica ed instabilità. Il metodo dell'energia per l'analisi qualitativa di EDO del II ordine integrabili per quadrature. Modello preda-predatore: soluzioni stazionarie e campo vettoriale.
01/12/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Modello preda-predatore: stabilità dell'equilibrio con il metodo della funzione di Liapunov; equazione delle orbite; effetto pesca. Il modello epidemiologico SIR.
02/12/09 - Prof. Borgioli - 2 ore
Modello di competizione esclusiva. Introduzione alla serie di Fourier: presentazione delle equazioni della Fisica Matematica (onde, potenziale, diffusione). Problema al contorno ed ai valori iniziali per l'equazione della diffusione. Esercizi su EDO lineari del II ordine non omogenee.
03/12/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Massimo e minimo di due v.a indipendenti; caso esponenziale. Media, momenti di ordine k, varianza di una v.a. continua e loro proprietà; covarianza e coefficiente di correlazione di due v.a. continue. Media e varianza di una distribuzione uniforme. Leggi normali (gaussiane); se Y ~ N(μ, σ2 ) allora Y= σX+μ con X=N(0,1). Somma di v.a. con densità normale. Funzione di ripartizione di una v.a. con densità normale standard e uso delle tavole. Proprietà di simmetria della densità normale standard. Media e varianza di una v.a. con densità normale. Funzione gamma euleriana: definizione e principali proprietà. Leggi gamma. Somma di v.a. continue indipendenti di legge gamma. Legame con densità esponenziale. Media e varianza nel caso di leggi gamma e di leggi esponenziali. Uso della legge esponenziale e delle leggi gamma per modellare i tempi di attesa. [Cap.4 Par.4.3, 4.4 e 4.6]
10/12/09 - Prof. Matucci - 3 ore
Esercizi e complementi sul programma svolto.