Registro delle lezioni di Metodi Matematici - a.a 2011/12
AVVERTENZA: Per la parte di Metodi Probabilistici (Prof. Poggiolini) si veda la pagina del corso http://www.dma.unifi.it/~poggiolini/didattica/2011-12-metodi_prob.php.
20/09/2011: Introduzione al corso ed illustrazione del programma. Terminologia e definizioni, esempi di equazioni differenziali ordinarie (2 ore).
23/09/2011: EDO del I ordine (a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari, del tipo di Bernoulli, esatte): metodi risolutivi ed esercizi (3 ore).
27/09/2011: EDO del I ordine: metodo del fattore integrante, esempi. Il PVI, esempi ed enunciato del Teorema di Cauchy. L'equazione integrale associata (2 ore).
30/09/2011: Teorema di Cauchy per il PVI dell'equazione y'=f(x,y); dimostrazione con il metodo delle iterate di Picard. Controesempi per l'unicità e l'esistenza globale. Introduzione ai modelli matematici: il modello Malthusiano ed il modello logistico (3 ore).
4/10/2011: Analisi qualitativa del modello logistico; presentazione del modello di competizione esclusiva. EDO del II ordine: casi di equazioni riducibili al I ordine. Integrazione per quadrature dell'equazione y''=f(y) e suo significato fisico. L'esempio dell'oscillatore armonico (2 ore).
7/10/2011: EDO II ordine lineari, spazi lineari di funzioni ed operatori lineari. Soluzione generale e soluzione dell'equazione completa. Teorema di esistenza ed unicità per il PVI. Wronskiano e Teorema di Abel. Dipendenza e indipendenza lineare fra funzioni (3 ore).
11/10/2011: EDO II ordine lineari a coefficienti costanti, formule risolutive ed esempi. Introduzione al concetto di stabilità delle soluzioni (2 ore).
14/10/2011: Modelli matematici per le EDO del II ordine lineari: l'oscillatore armonico e l'equazione del punto sella, soluzioni esatte del PVI ed analisi qualitativa nel piano delle fasi (3 ore).
18/10/2011: Oscillatore armonico debolmente smorzato: soluzione esatta ed analisi delle sue proprietà; analisi qualitativa nel piano della fasi (2 ore).
21/10/2011: Oscillatore armonico fortemente smorzato: soluzione del PVI ed analisi qualitativa nel piano delle fasi. EDO del II ordine lineari non omogenee: soluzione con il metodo delle costanti indeterminate e relativi esercizi (3 ore).
25/10/2011: EDO del II ordine lineari non omogenee: soluzione con il metodo di variazione delle costanti e relativi esercizi. Oscillatore armonico smorzato e forzato: presentazione del modello ed illustrazione del fenomeno della risonanza (2 ore).
28/10/2011: Oscillatore armonico smorzato e forzato: soluzione e discussione del fenomeno della risonanza; battimenti; risonanza in assenza di smorzamento (3 ore).
4/11/2011: Formulazione in R^n per le EDO ed i sistemi di EDO di ordine n. Il teorema di esistenza ed unicità per il PVI. Condizioni per l'esistenza ed unicità globale. L'EDO lineare omogenea in R^n: il problema agli autovalori; il caso di autovalori complessi; ricerca delle soluzioni fondamentali quando il numero degli autovettori linearmente indipendenti è minore di n (3 ore).
8/11/2011: Definizione di stabilità secondo Liapunov; definizione di stabilità asintotica. Sistemi di EDO lineari omogenee: stabilità della soluzione di equilibrio e stabilità delle soluzioni di evoluzione. Criterio di stabilità lineare e criterio di stabilità per sistemi semilineari (2 ore).
11/11/2011: II criterio di stabilita di Liapunov con dimostrazione; la funzione di Liapunov; i criteri di stabilità asintotica e di instabilità. Modelli non lineari: il pendolo, integrazione per quadrature e discussione della soluzione (3 ore).
15/11/2011: Pendolo non lineare: analisi della stabilità delle soluzioni di equilibrio, ritratto di fase; studio del ritratto di fase di sistemi "conservativi" co il metodo dell'energia (2 ore).
18/11/2011: Pendolo non lineare: stima del periodo delle oscillazioni e calcolo per sviluppo in serie dell'integrale ellittico di I specie: il periodo dell'oscillazione dipende dall'ampiezza. Modello preda-predatore: soluzioni di equilibrio e discussione della stabilità (3 ore).
22/11/2011: Modello preda-predatore: il campo vettoriale nel piano delle fasi, l'equazione delle orbite, la media e l'effetto pesca. Presentazione del modello di competizione esclusiva. Il modello epidemiologico SIR ed il parametro di soglia (2 ore).
25/11/2011: Equazioni a derivate parziali: l'equazione della diffusione e l'equazione delle onde unidimensionale; soluzione del PVI e del problema al contorno in un dominio finito; introduzione alla serie di Fourier (3 ore).
2/12/2011: Polinomi trigonomentrici; proprietà di ortonormalità delle funzioni armoniche. Spazi lineari, norma, prodotto interno; combinazione lineare e indipendenza lineare; costruzione di una successione di elementi ortonormali con la procedura di Gram-Schmidt (3 ore).
6/12/2011: Spazi unitari: disuguaglianze di Cauchy-Schwarz, di Minkowski (traingolare), di Bessel; identità di Parseval, proiezione ortogonale di un elemento dello spazio; base approssimante, base ortonormale; spazi di Banach e spazi di Hilbert. Lo spazio L^2([-pi,pi]) e le basi ortonormali reali e complesse (2 ore).
13/12/2011: Calcolo dei coefficienti della serie reale e di quella complessa; migliore approssimazione in norma; l'identità di Parseval (2 ore).
16/12/2011: Energia di un segnale e sviluppo nell'energia delle armoniche; serie di Fourier per una funzione definita su un qualunque intervallo e per le funzioni periodiche di periodo qualunque; funzioni pari e dispari, serie di Fourier dei coseni e dei seni; convergenza puntuale e Teorema di Dirichlet; il fenomeno di Gibbs; criterio per la convergenza uniforme; velocità della convergenza a zero dei coefficienti di Fourier. Esercizi sulla serie di Fourier (3 ore).
20/12/2011: Esercizi sulla serie di Fourier (2 ore).