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Registro delle lezioni di Metodi Matematici - a.a 2014/15

23/09/2014 (3 ore): Introduzione al corso. Definizioni e primi esempi: EDO autonome, in forma normale, lineari. PVI e problema al contorno. Soluzione delle EDO lineari con il metodo di variazione delle costanti e con il fattore integrante.

25/09/2014 (2 ore): EDO del primo ordine del tipo omogeneo e di Bernoulli, con esercizi. Forma vettoriale dell'EDO lineare del II ordine a coefficienti costanti.

30/09/2014 (3 ore): Forma vettoriale per le EDO di ordine n in forma normale. Il caso lineare: il problema agli autovalori ed autovettori. 

2/10/2014 (2 ore): Il teorema di Cauchy: esistenza ed unicità locale per il PVI.

7/10/2014 (3 ore): Unicità della soluzione del Problema di Cauchy; prolungabilità delle soluzioni e soluzione massimale. Soluzione globale. Un esempio di costruzione delle iterate di Picard; controesempi su unicità e globalità delle soluzioni.
Modelli matematici formulati come EDO del I ordine: il modello Malthusiano ed il modello logistico.

09/10/2014 (2 ore): Esistenza ed unicità per il PVI di EDO e sistemi di EDO lineari di qualunque ordina. Condizioni di esistenza ed unicità globale. PVI per EDO lineari: il teorema del Wronskiano.

14/10/2014 (3 ore): Teorema di Abel. Wronskiano e teorema di Abel per EDO lineari di ordine n. Definizione di dipendenza ed indipendenza lineare di n funzioni e loro relazioni con il Wronskiano. Forma vettoriale delle EDO lineari di ordine n e forma generale dell'EDO lineare vettoriale. Il problema agli autovalori ed autovettori per matrici di dimensione n. 

16/10/2014 (2 ore): EDO lineari vettoriali omogenee: matrici nxn ad elementi costanti. Caso di n autovettori distinti e linearmente indipendenti; caso di autovalori ed autovettori complessi; caso di autovettori linearmente indipendenti in numero di m, minore di n: la matrice esponenziale e la ricerca di ulteriori soluzioni fondamentali. Un esempio.

21/10/2014 (3 ore): EDO lineari vettoriali: la matrice fondamentale delle soluzioni; soluzione dell'EDO lineare completa e del PVI associato. La matrice esponenziale. Richiami sui metodi risolutivi per le EDO scalari, lineari di ordine n (esempi per n=2) non omogenee: metodo di variazione delle costanti e metodo dei coefficienti indeterminati (detto anche metodo di somiglianza). 

23/10/2014 (2 ore): Modelli lineari: loro validità come approssimazione di modelli non lineari. L'oscillatore armonico: varie forme per le soluzioni del PVI. Definizione di piano delle fasi, ritratto di fase per l'oscillatore armonico. 

28/10/2014 (3 ore): EDO lineare del punto sella: soluzione del PVI e ritratto di fase. Definizione di stabilità secondo Liapunov. Criterio di stabilità lineare e semilineare. 

30/10/2014 (2 ore): Stabilità: criterio della funzione di Liapunov con dimostrazione. Criterio per la stabilità asintotica. Esempi. 

4/11/2014 (3 ore): Oscillatore armonico debolmente smorzato: soluzione ed analisi delle sue caratteristiche; il ritratto di fase. Oscillatore armonico fortemente smorzato: soluzione del PVI e ritratto di fase. 

6/11/2014 (2 ore): Esercizi su EDO del I ordine: Bernoulli, omogenee, esatte, uso del fattore integrante. 

11/11/2014 (3 ore): Esercizi su EDO lineari vettoriali: autovalori reali, autovalori complessi, autovalori ripetuti. 

13/11/2014 (2 ore): Esercizi su EDO del I ordine ed EDO vettoriali lineari.

18/11/2014 (3 ore): Esercizi su EDO I ordine (Bernoulli, fattore integrante); esercizi su EDO vettoriali di dimensione 2 (autovalori complessi coniugati, autovalori ripetuti); esercizio su EDO II ordine non omogenea con il metodo di variazione delle costanti. Risonanza lineare: i modelli fisici e l'equazione.

20/11/2014 (2 ore): Risonanza lineare con smorzamento, risonanza lineare senza smorzamento, battimenti. Pendolo non lineare: la soluzione con il metodo alle quadrature.

25/11/2014 (3 ore): Pendolo non lineare: discussione sul calcolo del periodo; ritratto di fase globale. Analisi qualitativa di sistemi conservativi con il metodo dell'energia.

27/11/2014 (2 ore): Modello preda-predatore: soluzioni di equilibrio e loro proprietà di stabilità; il ritratto di fase; media temporale del numero di individui, l'effetto pesca. Il modello epidemiologico SIR.

2/12/2014 (3 ore): Trasformata di Laplace: condizioni per la convergenza; funzioni di ordine esponenziale. Trasformata di funzioni continue a tratti. Esempi. 

4/12/2014 (2 ore): Trasformata di Laplace di funzioni continue a tratti; trasformata di Laplace della delta di Dirac; esempi. Introduzione alle serie numeriche.

9/12/2014 (3 ore): Serie numeriche: criteri di convergenza ed esempi. Serie di funzioni: convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Serie di potenze, definizioni e criteri di convergenza. 

11/12/2014 (2 ore): Esercizi su serie di potenze. Introduzione alla serie di Fourier: Problema ai valori iniziali ed al contorno per l'equazione unidimensionale delle onde. 

16/12/2014 (3 ore): Spazio di Hilbert L^2 di funzioni definite su un intervallo. Serie di Fourier reale e complessa. Miglior approssimazione in norma; teorema di Riesz-Fischer e identità di Parseval. Serie di Fourier per funzioni a supporto compatto su un qualsiasi intervallo o periodiche di periodo qualsiasi.  

18/12/2014 ( 2 ore): Serie di Fourier dei seni e dei coseni. Teoremi di convergenza: condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale, convergenza uniforme. Velocità di convergenza, fenomeno di Gibbs. Esercizi.

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Translation into English

09/23/2014 (3 hours): Introduction to the course. Definitions and first examples:  autonomous ODE, normal form of ODE, linear ODE. IVP and Boundary Value Problem. Solution of linear ODE by the method of variation of constants and the integral factor.

09/25/2014 (2 hours): first order ODE of the homogeneous type and of Bernoulli type, with exercises. Linear ODE of the second order with constant coefficients, in vector form. 

09/30/2014 (2 hours): Vector form for the ODE of order n in normal form. The linear case: the problem of eigenvalues ​​and eigenvectors. 

10/02/2014 (2 hours): Cauchy's theorem: local existence and uniqueness for the PVI. 

10/07/2014 (3 hours): Uniqueness of the solution to the Cauchy problem; prolongability and maximal solution. Global solution. An example of construction of Picard iterates; counterexamples for uniqueness and globality of solutions. Mathematical models formulated as I order ODE: the Malthusian model and the logistic model. 

10/09/2014 (2 hours):  Conditions for global existence and uniqueness of PVI solutions for EDO of any order. Existence and uniqueness fof PVI solutions for linear EDO and systems of EDO of any order. The Wronskian theorem.

10/14/2014 (3 hours): Wronskian and Abel theorem for linear ODE of n order. Definition of linear dependence and independence of n functions and their relations with the Wronskian. Vector form of linear ODE of n order and general form of vectorial linear ODE. The problem to the eigenvalues and eigenvectors for matrices of dimension n. 

10/16/2014 (2 hours): Linear homogeneous vector ODE: nxn matrices with constant elements. The case of n distinct and linearly independent eigenvalues ; the case of complex eigenvalues and eigenvectors; the case when the number of linearly independent eigenvectors is m, less than n. The quest for further linear independent solutions. An example.

10/21/2014 (3 hours): Linear vector ODE : the fundamental matrix of solutions; solutions to nonhomogeneous linear ODE and to the associated IVP. The exponential . matrix. Summary on solution methods for the nonhomogeneous linear scalar ODE of order n (examples for n = 2): the method of variation of constants and the method of undetermined coefficients (also called the method of similarity). 

10/23/2014 (2 hours): Linear models: their validity as an approximation of non-linear models. The harmonic oscillator: various forms for the solutions of the PVI. Definition of the phase plane, phase portrait for the harmonic oscillator. 

10/28/2014 (3 hours): Linear saddle point ODE: the solution to IVP and the phase portrait. Definition of stability according to Lyapunov. Linear and semi-linear stability criteria. 

10/30/2014 (2 hours): Lyapunov stability criterion: Lyapunov functions. Criterion for asymptotic stability. Examples. 

11/04/2014 (3 hours): Weakly damped harmonic oscillator: general solution and discussion of its properties; the phase portrait. Strongly damped harmonic oscillator: solution to IVP and phase portrait. 

11/06/2014 (2 hours): Exercises on first-order ODE: Bernoulli and homogeneous equations, exact equations and integrating factor. 

11/11/2014 (3 hours): Exercises on linear vector ODE: real eigenvalues, complex eigenvalues, repeated eigenvalues. 

11/13/2014 (2 hours): Exercises on first order ODE and linear vector ODE.

11/18/2014 (3 hours):  Exercises on first order ODE (Bernoulli type and use of an integral factor); exercises on two-dimensional vector ODE (complex eigenvalues, repeated eigenvalues); exercise on nonhomogeneous second order linear ODE with the method of variation of constants. Linear resonance: physical models and the equation.

11/20/2014 (2 hours): Resonance of a linear damped oscillator, resonance of a linear undamped oscillator, beats. Nonlinear pendulum: the solution by quadratures.

11/25/2015 (3 hours): Nonlinear pendulum: discussion on the period calculation; global phase portrait. Qualitative analysis of conservative systems by the energy method.

11/27/2014 (2 hours): Prey-predator model: equilibrium solutions and their stability properties; the phase portrait; time average of the individuals number; the fishing effect . SIR epidemiological model.

12/02/2014 (3 hours): Laplace transform: conditions for convergence; functions of exponential order. Transform of piecewise continuous functions. Examples. 

12/04/2014 (2 hours): Laplace transform of piecewise continuous functions; Laplace transform of the Dirac Delta; examples. Introduction to numerical series.

12/09/2014 (3 hours): Numerical series: convergence criteria and examples. Series of functions: pointwise convergence, uniform convergence and total convergence. Power series, definitions and convergence criteria.  

12/11/2014 (2 hours): Power series:exercises. Introduction to Fourier series: Initial value and boundary value problem for the one-dimension wave equation.

12/16/2014 (3 hours): Hilbert space L ^ 2 of functions defined on an interval. Real and complex Fourier series. Best approximation in the quadratic norm; Riesz-Fischer theorem and Parseval identity. Fourier series for functions with compact support or periodic of any period. 

12/18/2014 (2 hours): Fourier series of sines and cosines. Convergence theorems: Dirichlet conditions for the pointwise convergence, uniform convergence. Convergence speed, Gibbs phenomenon. Exercises.

 
ultimo aggiornamento: 22-Set-2014
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