Registro delle lezioni a.a. 2014/15
Di seguito si riportano gli argomenti svolti a lezione, relativamente alla seconda parte del corso. La dicitura (dim) indica lo svolgimento della dimostrazione, mentre (no dim) indica che il risultato è stato enunciato senza dimostrazione.
24 Novembre 2014 - 2 ore
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; generalità ed esempi. Integrale generale, soluzioni particolari, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili: metodo per la determinazione dell'integrale generale (dim), esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy (no dim) e sue conseguenze.
25 Novembre 2014 - 3 ore
Esercizi sulle equazioni a variabili separabili e problemi di Cauchy associati. Generalità sulle EDO lineari di ordine n: spazio delle soluzioni della equazione omogenea e integrale generale della non omogenea (dim.). Esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy (no dim.). EDO lineari del primo ordine: integrale generale dell'omogenea e della completa (dim). Esempi di determinazione dell'integrale generale e della risoluzione di problemi di Cauchy.
01 Dicembre 2014 - 2 ore
EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione dell'integrale generale della omogenea associata e di una soluzione particolare della equazione completa mediante il metodo di somiglianza - caso del termine noto dato dal prodotto di un polinomio e di un esponenziale. Esercizi sulla determinazione dell'integrale generale.
02 Dicembre 2014 - 3 ore
Ricerca di una soluzione particolare della completa nel caso di termine noto contenente la funzione seno o coseno. Principio di sovrapposizione. Cenni sulla determinazione dell'integrale generale per le EDO lineari di ordine n>2 a coefficienti costanti. Esempi ed esercizi sulla determinazione dell'integrale generale, su problemi di Cauchy e problemi asintotici.
05 Dicembre 2014 - 2 ore
Introduzione alle funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di continuità e proprietà principali. Definizione di arco di curva continua, sostegno della curva, curva chiusa, curva semplice. Derivabilità e definizione di arco di curva regolare; vettore tangente e retta tangente in un punto ad una curva regolare. Curve regolari a tratti, unione di curve regolari. Integrale di una funzione vettoriale. Curve rettificabili; teorema sulla rettificabilità degli archi di curva regolari (no dim). Lunghezza di un arco di curva (solo idea della dimostrazione).
09 Dicembre 2014 - 3 ore
Esempi di curve regolari: curve con sostegno il grafico di una funzione reale di una variabile, curve in forma polare; esercizi. Cambiamenti di parametro per una curva, curve equivalenti e cambiamenti di orientazione. Parametro d'arco (ascissa curvilinea): definizione e sue proprietà. Integrali di linea di prima specie.
15 Dicembre 2014 - 2 ore
Applicazioni fisiche degli integrali di linea di prima specie: calcolo della massa totale, delle coordinate del baricentro, del momento d'inerzia per linee materiali eventualmente non omogenee. Esercizi di riepilogo sulle curve parametriche e sugli integrali di linea di prima specie. Funzioni reali di più variabili: dominio, grafico ed insiemi di livello, definizione di limite in un punto.
16 Dicembre 2014 - 3 ore
Condizione sufficiente per la non esistenza del limite. Esempi. Criterio sufficiente per l'esistenza del limite mediante passaggio a coordinate polari. Limite all'infinito. Esempi di esistenza e non esistenza di limiti. Continuità per funzioni di più variabili. Topologia in Rn: punti esterni, interni o di frontiera rispetto ad un insieme. Insiemi aperti, chiusi, e loro proprietà. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue (dim). Interno, frontiera e chiusura di un insieme.
19 Dicembre 2014 - 2 ore
Insiemi connessi (per archi), insiemi limitati. Proprietà delle funzioni continue di più variabili: teorema di Weierstrass (no dim.), teorema degli zeri (dim), teorema dei valori intermedi (dim). Applicazioni: studio del segno di una funzione di più variabili. Esercizi sulla determinazione del dominio di funzioni di due variabili e sua analisi topologica. Derivate parziali di funzioni di due o più variabili, vettore gradiente. Esempi.
2 marzo 2015 - 2 ore
Derivate direzionali: definizione e interpretazione geometrica. Esempi di calcolo.Differenziabilità di una funzione di 2 variabili, esistenza del piano tangente e approssimazione lineare della funzione. Relazione tra i concetti di continuità, derivabilità, differenziabilità. Esempio di studio della derivabilità e differenziabilità di una data funzione.
3 Marzo 2015 - 3 ore
Differenziabilità per funzioni di più variabili. Condizione sufficiente per la differenziabilità (no dim). Formula del gradiente (dim). Direzioni di massima e minima crescita. Formule di calcolo per le derivate, derivazione di funzioni composte e applicazioni: ortogonalità del gradiente alle linee di livello (dim). Teorema di Lagrange o del valor medio (dim). Derivate di ordine superiore e teorema di Schwartz (no dim).
5 Marzo 2015 - 2 ore
Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Lagrange e secondo Peano (no dim). Introduzione ai problemi di ottimizzazione in n variabili: ottimizzazione libera (in un insieme aperto) e vincolata (sulla frontiera di un insieme aperto). Definizione di punto di massimo (minimo) assoluto, di punto di massimo (minimo) relativo, di punto sella. Punti critici e loro ricerca: teorema di Fermat (dim). Esempi di non applicabilità del teorema di Fermat. Determinazione della natura dei punti critici nel caso n=2 mediante lo studio del segno del determinante della matrice hessiana e del segno f_xx nel punto (solo idea - no dim).
9 Marzo 2015 - 2 ore
Determinazione della natura locale di un punto critico a dimensione n >=3 mediante lo studio del segno dei minori principali della matrice hessiana (no dim.). Esempi di studio della natura dei punti critici liberi per una funzione di più variabili, mediante l'analisi della forma quadratica associata alla matrice hessiana. Esempi di casi indeterminati ed esercizi.
10 Marzo 2015 - 3 ore
Ottimizzazione vincolata: caso in cui il vincolo sia una curva parametrizzabile. Regolarità delle curve definite implicitamente e teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel piano (solo idea geometrica). Studio mediante le linee di livello. Funzione Lagrangiana. Esercizi riassuntivi su problemi di ottimizzazione vincolata. Ricerca del massimo e minimo assoluto mediante lo studio delle linee di livello.
12 Marzo 2015 - 2 ore
Moltiplicatori di Lagrange a dimensione maggiore di 2. Esercizi riassuntivi su problemi di ottimizzazione: determinazione dei massimi e minimi assoluti nel caso di domini chiusi e limitati, determinazione dell'immagine di una funzione nel caso di dominio connesso.
16 Marzo 2015 - 2 ore
Generalità sulle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità, matrice Jacobiana e differenziale. Superfici in forma parametrica: superfici regolari, versore normale e piano tangente in un punto, superfici cartesiane e superfici di rotazione.Esempi
17 Marzo 2015 - 3 ore
Esercizi sulle superfici parametriche. Trasformazioni di coordinate in Rn e loro invertibilità; coordinate polari nel piano, coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Introduzione all'integrale di Cauchy-Riemann per una funzione di due variabili. Insiemi x-semplici, y-semplici e domini regolari. Esempi. Integrabilità di funzioni continue su domini regolari (no dim.) e formule di riduzione per domini x-semplici o y-semplici.
19 Marzo 2015 - 2 ore
Principali proprietà degli integrali doppi. Area di un dominio piano regolare e insiemi di misura nulla. Integrabilità di funzioni limitate e continue tranne un insieme di misura nulla su domini regolari (no dim.) Massa totale, coordinate del baricentro, momento d'inerzia di una lamina materiale. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi: trasformazione dell'elemento di area infinitesimo (solo idea della dim.). Esempi ed esercizi.
23 Marzo 2015 - 2 ore
Calcolo di integrali tripli: integrazione per "fili" e integrazione per "strati". Massa totale, coordinate del baricentro, momenti d'inerzia di una corpi materiali. Cambio di variabile negli integrali tripli (no dim.). Esempi ed esercizi sul calcolo di integrali doppi e tripli.
24 Marzo 2015 - 3 ore
Campi vettoriali: generalità, operatore rotore, operatore divergenza e identità differenziali. Lavoro di un campo (integrale di linea di seconda specie) e proprietà di dipendenza dal verso di percorrenza. Campi conservativi: definizione e proprietà di dipendenza del lavoro dai soli punti iniziale e finale (dim). Caratterizzazione dei campi conservativi: equivalenza tra esistenza della funzione potenziale, indipendenza dal cammino e circuitazione nulla (dim).
26 Marzo 2015 - 2 ore
Esempio di campo non conservativo sul proprio dominio, ma irrotazionale. Insiemi semplicemente connessi. Equivalenza tra irrotazionalità e conservatività per un campo C1 su un aperto semplicemente connesso (no dim). Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante integrazione diretta delle componenti del campo e mediante il calcolo del lavoro da un punto fissato ad un punto generico. Linguaggio delle forme differenziali.
30 Marzo 2015 - 2 ore
Definizione di integrale di superficie per una funzione di tre variabili. Area di una superfice; esempi: area di una superficie cartesiana, area di una superficie di rotazione. Applicazioni fisiche: determinazione della massa totale, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia per una lamina materiale di densità superficiale assegnata.
31 Marzo 2015 - 3 ore
Superfici orientabili; esempio di superficie non orientabile (nastro di Möebius), orientazione di una superficie. Flusso di un campo attraverso una superficie orientata. Esempio: teorema di Gauss per l'elettrostatica. Teorema della divergenza (o di Gauss) (no dim) e sua interpretazione fisica.
09 Aprile 2015 - 2 ore
Bordo di una superficie e sua orientazione positiva per una superficie orientata; esempi. Superfici regolari a pezzi. Teorema del rotore (o di Stokes) (no dim) e sua interpretazione fisica. Teorema di Gauss-Green come caso particolare del teorema del rotore per superfici piane. Esempio di applicazione del teorema di Gauss-Green nel calcolo di aree di domini regolari piani. Esempi ed esercizi.
14 Aprile 2015 - 3 ore
Dalle equazioni gobali alle equazioni puntuali: esempio di applicazione del teorema della divergenza e del teorema del rotore nella derivazione delle leggi di Maxwell dell'elettromagnetismo.Esercizi sul teorema del rotore. Operatori differenziali e cambiamento di coordinate: gradiente in coordinate polari e cenni sul gradiente, rotore e divergenza in coordinate sferiche e cilindriche.