Registro delle lezioni di Metodi Matematici e Probabilistici - a.a 2015/16

1) 22/09/2015 (3 ore): Introduzione al corso. Definizioni e simbolismo. EDO autonome e EDO in forma normale. Esempi.

2) 24/09/2015 (2 ore): EDO I ordine: metodi per la soluzione di EDO a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari, di Bernoulli. Esempi.

3) 29/09/2015 (3 ore): Introduzione alla Probabilità; Probabilità classica, frequentista, soggettiva. Calcolo combinatorio: permutazioni, permutazioni con ripetizioni, disposizioni, disposizioni con ripetizioni, combinazioni. 

4) 1/10/2015 (2 ore): EDO I ordine esatte e EDO I ordine risolubili col metodo del fattore integrante. Esercizi. 

5) 2/10/2015 (2 ore): Serie numeriche: definizioni e criteri di convergenza, esempi. 

6) 6/10/2015 (3 ore): Calcolo combinatorio: combinazioni con ripetizioni. Assiomi della Probabilità: spazio campione, spazio degli eventi. Misura di probabilità e sue proprietà, spazio di Probabilità. Diagrammi di Venn. Eventi indipendenti e probabilità condizionata. Esempi.

7) 8/10/2015 (2 ore): Successioni di funzioni, convergenza puntuale e convergenza uniforme. Serie di funzioni, convergenza assoluta e convergenza totale. Serie di potenze, raggio di convergenza, criteri della radice e del rapporto. Esempi.

8) 9/10/2015 (2 ore): Serie di potenze: serie derivata e serie integrale, serie di Taylor e di MacLaurin. Esempi. Introduzione alla formulazione vettoriale delle EDO ed all'analisi qualitativa. 

9) 13/10/2015 (3 ore): Partizione dello spazio campionario, Teorema delle probabilità totali, formula di Bayes. Esempi ed esercizi.

10) 15/10/2015 (2 ore): Teorema di Cauchy per il PVI, iterate di Picard. Condizioni per la globalità. Controesempi per l'unicità e la globalità.  

11) 16/07/2015 (2 ore): Modelli matematici in Teoria delle Popolazioni: il modello malthusiano ed il modello logistico. Richiami sulla soluzione generale delle EDO II ordine lineari a coefficienti costanti e sul PVI loro associato.

12) 20/10/2015 (3 ore): Definizione di variabile aleatoria, v.a. discrete. Funzione di distribuzione cumulativa, funzione densità di probabilità. Speranza matematica e varianza. Esempi. 

13) 22/10/2015 (2 ore): Soluzioni particolari per le EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti: metodo dei coefficienti indeterminati (o metodo per somiglianza) e sua applicabilità. Modelli per EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti: l'oscillatore armonico, analisi nel piano delle fasi.

14) 23/10/2015 (2 ore): Esercizi di Probabilità: calcolo combinatorio, probabilità condizionata, teorema di Bayes. (lezione tenuta dal Prof. Marco Spadini). 

15) 27/10/2015 (3 ore): V.a. continue: funzione di distribuzione cumulativa, densità di probabilità. Speranza matematica e varianza e loro proprietà; cenni ai momenti di ordine superiore. Introduzione alle distribuzioni, la distribuzione di Bernoulli.

16) 29/10/2015 (2 ore): Soluzione ed analisi qualitativa per l'equazione del punto sella. Introduzione al concetto di stabilità. Stabilità secondo Liapunov. 

17) 30/10/2015 (2ore): Stabilità asintotica, stabilità lineare e relativo criterio. Forma vettoriale generale per sistemi  di EDO e per EDO di ordine n qualunque in forma normale. EDO non autonome ed estensione della dimensione della soluzione.

18) 3/11/2015 (3 ore): Distribuzione binomiale e distribuzione geometrica: densità, media e varianza; esempi. Esercizi su v.a. discrete.

19) 5/11/2015 (2 ore): Oscillatore armonico "debolmente" smorzato. Soluzione e sue proprietà, analisi qualitativa nel piano delle fasi, la spirale o fuoco stabile.  

20) 6/11/2015 (2 ore): Oscillatore armonico "fortemente" smorzato. Soluzione, sue proprietà e analisi qualitativa, il nodo stabile. Soluzione particolare delle EDO lineari del II ordine non omogenee: il metodo di variazione delle costanti.

21) 10/11/2015 (3 ore): Distribuzione ipergeometrica e distribuzione di Poisson: densità di probabilità, media e varianza con esempi. Esercizi sulla distribuzione binomiale.  

22) 12/11/2015 (2 ore): Spazio lineare delle soluzioni di EDO lineari di ordine n. Soluzione unica del PVI, Wronskiano e teorema di Abel. Dipendenza ed indipendenza lineare di n funzioni definite su un intervallo comune. Condizione necessaria e sufficiente perché n soluzioni di un EDO lineare di ordine n siano linearmente indipendenti è che il loro Wronskiano sia non nullo. Spazio lineare delle soluzioni. 

23) 13/11/2015 (2 ore): Oscillatore armonico smorzato e forzato: risonanza lineare. Oscillatore armonico forzato: battimenti e risonanza. 

24) 17/11/2015 (2 ore): Grafici di densità e funzioni di ripartizione per v.a. discrete: binomiale, geometrica, ipergeometrica e Poisson. Funzione generatrice dei momenti e suo utilizzo. V.a. continue: densità uniforme, speranza matematica e varianza; densità esponenziale, speranza matematica e varianza. Introduzione alla distribuzione normale. 

25) 19/11/2015 (2 ore): Forma vettoriale per le EDO di ordine n. Teorema di esistenza e unicità locale e globale. EDO vettoriali lineari, problema agli autovalori e autovettori. Soluzione generale, caso degli autovalori complessi coniugati. La matrice esponenziale; ricerca di vettori linearmente indipendenti nel caso in cui gli autovettori sono meno di n. 

26) 20/11/2015 (2 ore): Matrice fondamentale di soluzioni; la matrice esponenziale come matrice fondamentale. Soluzione del PVI per l'EDO lineare vettoriale completa con il metodo di variazione delle costanti. Esercizi su EDO lineari vettoriali.

27) 24/11/2015 (3 ore): Distribuzione normale e normale standard: proprietà, speranza matematica e varianza. Funzione di distribuzione cumulativa e sue proprietà. Disuguaglianza di Chebychev con esempi. Teorema di Bernoulli sulla convergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione normale. 

28) 26/11/2015 (2 ore): Probabilità: tavole della normale standard e loro uso. Metodi matematici: stabilità non lineare, criterio di stabilità in prima approssimazione, criterio della funzione di Liapunov. 

29) 27/11/2015 (2 ore): Un esempio di applicazione del criterio di stabilità in prima approssimazione: equazione di Van der Pol. Criterio della funzione di Liapunov: dimostrazione. Equazione non lineare del pendolo: soluzioni di equilibrio e stabilità.

30) 1/12/2015 (2 ore): Probabilità: un esercizio sulla distribuzione normale. V.a. multivariate. Prime definizioni sulle v.a. bivariate: la funzione di distribuzione cumulativa e sue proprietà.

31) 3/12/2015 (2 ore): Ritratto di fase del pendolo non lineare; ritratti di fase per EDO II ordine autonome e conservative con il metodo dell'energia. 

32) 4/12/2015 (2 ore): Sistemi conservativi: calcolo del tempo di un'oscillazione. Modello preda-predatore:  soluzioni di equilibrio e proprietà di stabilità, il campo vettoriale nel piano delle fasi, le orbite chiuse.

33) 10/12/2015 (2 ore): Modello preda-predatore: media del numero di individui ed effetto pesca; modello epidemiologico SIR, analisi qualitativa. Introduzione alla serie di Fourier: soluzione dell'equazione del calore in un dominio limitato; polinomi trigonometrici e loro proprietà. 

34) 11/12/2015 (2 ore): Spazi lineari di funzioni, prodotto interno e norma. Spazi unitari normati e completi: spazio L^2 di Hilbert, basi ortonormali. Convergenza in norma della serie di Fourier, identità di Parseval. 

35) 15/12/2015 (3 ore): V.a. multivariate, discrete e continue (caso bivariato): funzioni di densità e distribuzione cumulative e marginali, medie, varianze, covarianza, coefficiente di correlazione e loro regole di calcolo. Indipendenza di v.a. e incorrelazione. Probabilità condizionata. Funzioni di v.a. Esercizi.  

36) 17/12/2015 (2 ore): Serie di Fourier: convergenza puntuale e uniforme (condizioni di Dirichlet), serie derivata e serie integrale; serie di Fourier per funzioni definite su un intervallo qualunque e/o periodiche di periodo qualunque. Serie di seni e serie di coseni per funzioni dispari e pari. La serie di Fourier complessa. 

37) 18/12/2015 (2 ore): Esercizi su serie di Fourier.