Registro delle lezioni di Metodi Matematici e Probabilistici - a.a 2016/17

1) 26/09/2016 (3 ore): Introduzione al corso, illustazione del programma e delle modalità di esame. Richiami sulle successioni e serie numeriche reali: definizioni, criterio di Cauchy, criterio del rapporto e della radice, criterio di Leibnitz. Serie geometrica.

2) 28/09/2016 (2 ore): Successioni di funzioni, convergenza puntuale e convergenza uniforme. Successioni di Cauchy. Serie di funzioni, proprietà di convergenza: convergenza assoluta e convergenza totale. Serie di potenze. 

3) 29/09/2016 (2 ore): Raggio di convergenza delle serie di potenze. Criterio del rapporto e della radice. Serie di Taylor e di McLaurin. Esercizi.

4) 3/10/2016 (3 ore): Introduzione alla Probabilità, Teoria classica, frequentista o statistica, soggettiva. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, disposizioni con ripetizioni, combinazioni, combinazioni con ripetizioni. 

5) 5/10/2018 (2 ore): Esercizi di calcolo combinatorio. Spazio campionario: esempi.

6) 6/10/2016 (2 ore): Assiomi di probabilità: spazio campionario, spazio degli eventi, spazio di probabilità. Misura di probabilità e sue proprietà. Definizione di eventi indipendenti. 

7) 10/10/2016 (3 ore): Probabilità dell'unione di eventi non incompatibili. Probabilità condizionata, teorema delle probabilità totali, formula di Bayes. Esempi: il paradosso dei compleanni, estrazioni con reimbussolamento e senza reimbussolamento, falsi positivi nelle analisi mediche, il problema dei tre prigionieri.

8) 12/10/2016 (2 ore): Definizione di variabile aleatoria e sue proprietà. Funzione di distribuzione cumulativa (funzione di ripartizione) e sue proprietà. V.a. discrete finite e infinite, definizione di densità di probabilità. 

9) 13/10/2016 (2 ore): Esempi di v.a. discrete, loro funzione di ripartizione e funzione densità. V.a. continue, funzione di ripartizione e funzione densità e loro proprietà. Definizione di media (aka valore atteso o speranza matematica) e di varianza nel caso discreto e nel caso continuo.

10) 17/10/2016 (3 ore): Proprietà della speranza matematica e della varianza; deviazione standard; standardizzazione di una variabile aleatoria. Distribuzioni discrete di probabilità: il processo Bernoulliano e la distribuzione binomiale, loro medie e varianze.

11) 19/10/2016 (2 ore): Distribuzioni discrete: geometrica e geometrica modificata, ipergeometrica; approssimazione della distribuzione ipergeometrica con quella binomiale. Esperimenti modellizzati da tali distribuzioni; media e varianza. Distribuzione di Poisson, uso della distribuzione di Poisson come approssimazione della distribuzione binomiale. 

12) 20/10/2016 (2 ore): Media e varianza della distribuzione di Poisson. Esempi. Utilizzo della distribuzione di Poisson nel caso di eventi rari. Disuguaglianza di Chebychev (dimostrazione nel caso di v.a. continue). Esempi di applicazioni.

13) 24/10/2016 (3 ore): Distribuzioni di probabilità per v.a. continue, la densità uniforme, distribuzione esponenziale, distribuzione normale e normale standard: speranze matematiche e varianze, la tavola della normale standard, un esempio di uso. V.a. vettoriali, il caso bivariato, la funzione di ripartizione e sue proprietà.

14) 26/10/2016 (2 ore): V.a, bivariate, la funzione densità nei casi discreti e continui; densità marginali, densità condizionata. il teorema di Bernoulli per la covergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione normale. La legge dei grandi numeri (formulazione debole) ed il teorema del limite centrale: enunciati e loro significato.

15) 27/10/2016 (2 ore): Esercizi riassuntivi di probabilità.

16) 2/11/2016 (2 ore): Introduzione alle equazioni ed ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie (EDO). Terminologia e definizioni: ordine dell'EDO, forma normale, equazioni autonome, lineari e non lineari; soluzione generale, soluzione particolare, soluzione singolare. EDO a variabili separabili.

17) 4/11/2016 (3 ore): EDO I ordine: metodi risolutivi per EDO di tipo omogegne, lineari (omogenee e non, con il metodo di variazione delle costanti e con il fattore integrante), del tipo di Bernoulli, EDO esatte. EDO di ordine superiore al primo, riconducibili al primo ordine per funzioni incognite vettoriali. 

18) 7/11/2016 (3 ore): Formulazione di EDO di ordine n qualsiasi e di sistemi di EDO di qualsiasi ordine, purché in forma normale, come EDO del I ordine per una funzione incognita vettoriale di dimensione n: Teorema di Cauchy per il PVI, dimostrazione con le iterate di Picard. Le condizioni di Peano per l'esistenza. 

19) 9/11/2016 (2 ore): Teorema di esistenza ed unicità globale per il PVI: enunciato. Modelli matematici per EDO scalari  del I ordine: il modello Malthusiano ed il modello logistico. 

20) 10/11/2016 (2 ore): Il II membro di una EDO del I ordine definisce un campo vettoriale. EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti: metodi risolutivi. Gli operatori differenziali come operatori lineari, spazi lineari di funzioni  e spazi lineari di soluzioni. Forma vettoriale delle EDO lineari, problema agli autovalori ed autovettori.

21) 14/11/2016 (3 ore): Il PVI per EDO lineari di ordine n: Wronskiano e teorema di Abel. Dipendenza e indipendenza lineare di n funzioni definite sullo stesso dominio, relazioni con il Wronskiano. Condizione necessaria e sufficiente perché n soluzioni di una EDO lineare di ordine n siano linearmente indipendenti è che il loro Wronskiano sia non nullo. Modelli matematici per EDO lineari del II ordine: l'oscillatore armonico. 

22) 17/11/2016 (2 ore): Definizione di stabilità delle soluzioni del PVI secondo Liapunov. Analisi del caso lineare.

23) 21/11/2016 (3 ore): Criterio di stabilità lineare; l'equazione del punto sella e dell'oscillatore armonico debolmente smorzato, soluzioni esatte ed analisi qualitativa; i piani delle fasi: il punto sella e il fuoco (o spirale) stabile. 

24) 23/11/2016 (2 ore): Oscillatore armonico fortemente smorzato; soluzione del PVI ed analisi qualitativa, il piano delle fasi: il nodo stabile. Richiami sulla ricerca della soluzione particolare di EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti con il metodo dei coeffecienti indeterminati.

25) 24/11/2016 (2 ore): Soluzione particolare per EDO lineari non omogenee: il metodo di variazione delle costanti. Oscillatore armonico smorzato e forzato: risonanza lineare.

26) 28/11/2016 (3 ore): Modelli per EDO lineari: battimenti e risonanza senza smorzamento. EDO lineari del I ordine omogenee, di dimensione n: ricerca delle soluzioni fondamentali; caso degli n autovettori linearmente indipendenti, caso degli autovalori e autovettori complessi, caso degli autovalori con molteplicità algebrica e geometrica differenti.

27) 30/11/2016 (2 ore): Esercizi di risoluzione per PVI di EDO lineari vettoriali, a dimensione 2.

28) 1/12/2016 (2 ore): EDO non lineari. Criteri di stabilità: stabilità in prima approssimazione e criterio della funzione di Liapunov.

29) 5/12/2016 (3 ore): Dimostrazione del criterio della funzione di Liapunov. Pendolo non lineare:  periodo ed analisi qualitativa, il piano delle fasi.

30) 7/12/2016 (2 ore): Analisi qualitativa delle soluzioni per EDO del II ordine "conservative". Modello preda-predatore: soluzioni di equilibrio, campo vettoriale. 

31) 12/12/2016 (3 ore): Funzione di Liapunov per preda-predatore, medie ed effetto pesca. Modello epidemiologico SIR, analisi qualitativa. Introduzione alla serie di Fourier. L'equazione del calore o della diffusione.

32) 14/12/2016 (1 ora): Soluzioni del problema al contorno ed ai valori iniziali per l'equazione del calore. Fourier: ortogonalità delle funzioni armoniche. 

33) 15/12/2016 (2 ore): Spazio di Hilbert L^2 su un intervallo, prodotto interno e norma, base ortonormale (procedura di Gram-Schmidt), migliore approssimazione. Base di L^2 reale e complessa.

34) 19/12/2016 (3 ore): Identità di Parseval; criteri di Dirichlet per la convergenza puntuale e per la convergenza uniforme della serie di Fourier. Serie di Fourier per funzioni definite su un intervallo e per funzioni periodiche. Esercizi.

35) 21/12/2016 (2 ore): Esercizi su serie di Fourier. 

36) 22/12/2016 (2 ore): Esercizi su EDO (Equazioni Differenziali Ordinarie) e serie di Fourier.