Registro delle lezioni a.a. 2016/17

Di seguito sono elencati gli argomenti svolti ad ogni lezione. Per le tracce delle lezioni si veda questa pagina.

27/09/2016 - 2 ore

Richiami sui numeri complessi. Funzioni complesse come trasformazioni del piano. Limite di successioni in C; convergenza di serie numeriche in C e criterio di convergenza in modulo. La funzione esponenziale.

30/09/16 - 3 ore

Il concetto di infinito in C. Limiti, continuità, derivabilità di funzioni complesse. Funzioni analitiche: definizione ed esempi. Il teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche e ricostruzione di funzioni analitiche nota la parte reale o la parte immaginaria. Teorema di Weierstrass dell'unicità dell'estensione analitica.

04/10/16 - 2 ore

Radici in campo complesso e risoluzione di equazioni algebriche. Logaritmo in C e sue proprietà. Le funzioni trigonometriche seno e coseno complesse.

Curve regolari e generalmente regolari in C; lunghezza di una curva. Definizione di integrale di una funzione continua su una curva (generalmente) regolare e proprietà dell'integrale. Esempi. Teoremi di Cauchy: caso di una funzione analitica all'interno di una curva chiusa (I teorema di Cauchy), di una funzione che è analitica all'interno della curva tranne un punto (II teorema di cauchy) e di una funzione che è analitica all'interno della curva tranne un numero finito di punti (III teorema di Cauchy). Consequenze e applicazioni.  

11/10/16 - 2 ore

Singolarità isolate e di accumulazione; classificazione delle singolarità isolate: singolarità eliminabili, polari ed essenziali. Ordine di un polo. Serie di Laurent nell'intorno di una singolarità isolata; parte principale e parte analitica dello sviluppo. Unicità dello sviluppo, derivabilità termine a termine. Serie di Taylor per funzioni analitiche nell'intorno completo di un punto. Conseguenza: le funzioni analitiche in un aperto sono infinitamente derivabili in tale aperto.  Differenze con il caso reale. Classificazione delle singolarità mediante sviluppo di Laurent nell'intorno del punto.

14/10/16 - 3 ore

Classificazione del punto all'infinito. Definizione di Residuo in un punto e primo teorema dei Residui. Formule per il calcolo dei residui nel caso di singolarità eliminabili o polari di ordine N. Esempi ed esercizi sul calcolo di integrali mediante il primo teorema dei Residui.

18/10/16 - 2 ore

Sviluppo in serie di Laurent all'infinito e Residuo all'infinito. Secondo teorema dei Residui. Calcolo del residuo all'infinito mediante inversione per raggi reciproci. Esempi ed esercizi relativi al calcolo di integrali in campo complesso mediante il secondo teorema dei Residui.

21/10/16 - 3 ore

Esercizi sul calcolo del residuo all'infinito e su integrali. Teorema di Liouville,  teorema fondamentale dell'algebra. Una funzione analitica ha zeri isolati; unicità dell'estensione analitica. Teorema di Casorati.

25/10/16 - 2 ore

Introduzione alla trasformata Zeta; richiami sulle serie di potenze. Successioni Z-trasformabili, raggio di convergenza e definizione di trasformata Zeta. Teorema di Abel. Caratterizzazione di una trasformata Zeta. Esempi ed esercizi sulla determinazione del raggio di convergenza.

28/10/16 - 3 ore

Antitrasformata Zeta: esistenza, unicità e calcolo mediante la teoria dei Residui. Il teorema del valore iniziale. Altri metodi per il calcolo dei primi termini dell'antitrasformata. Esempi. Proprietà di linearità, smorzamento, moltiplicazione per n. Trasformate elementari: campionamento costante, lineare, polinomiale, esponenziale, trigonometrico.

01/11/16 - 3 ore

Sospensione della didattica. Lezione anticipata al 28/10. Esercizi ed approfondimenti sul programma oggetto della prima prova di verifica.

04/11/16 - 3 ore

Proprietà della traslazione per la trasformata Zeta. Convuluzione discreta e trasformata Zeta. Applicazione al calcolo dell'antitrasformata nel caso non razionale. Esempi ed esercizi di calcolo di trasformate e antitrasformate. Teorema del valore finale e sua applicabilità.

08/11/16 - 2 ore

prima prova di verifica intermedia

11/11/16 - 3 ore

Applicazione dell trasformata Zeta alla risoluzione di equazioni alle differenze. Il teorema del campionamento. Esempi e approfondimenti. Trasformata di Laplace e reti elettriche: definizione di classe Λ¹ (funzioni trasformabili secondo Laplace), ascissa di convergenza e semipiano di convergenza, definizione di trasformata. Esempi.

15/11/16 - 2 ore

Proprietà della trasformata di Laplace: analiticità nel semipiano di convergenza, decrescenza a zero per Re s tendente a +infinito, esistenze di almeno una singolarità con parte reale uguale all'ascissa di convergenza. Linearità della trasformata, teorema di derivazione (in forma classica), teorema di convoluzione, teorema di integrazione. Applicazioni a circuiti elettrici e funzioni di trasferimento. Introduzione alle funzioni reali positive; definizione di funzione reale e di funzione positiva, esempi.

18/11/16 - 3 ore

Proprietà delle funzioni R.P. somma di funzioni R.P., prodotto di una costate positiva per una funzione R.P., reciproca di una funzione R.P. è ancora R.P. così come la funzione ottenuta per inversione per raggi reciproci. Funzioni razionali reali. Funzioni razionali positive: test delle 4 condizioni e sue conseguenze. Condizioni necessarie per la positività. 

22/11/16 - 2 ore

Algoritmo di Euclide (divisioni successive) e applicazioni. Criterio di Talbot. Test di Hurwitz per stabilire il segno della parte reale delle radici di un polinomio; applicazioni: utilizzo per il test delle 4 condizioni e criterio di Talbo. Esempi ed esercizi.

25/11/16 - 3 ore

Reti elettriche e funzioni R.P. Sintesi di reti: esempi. Definizione di funzione pari e dispari e loro proprietà. Funzioni razionali dispari. Criterio per la positività delle funzioni razionali dispari. Esempi ed esercizi.

29/11/16 - 2 ore

L'algoritmo delle divisioni successive per la positività di funzioni reali dispari. Studio della positività per funzioni dipendenti da un parametro reale. Esempi ed esercizi.

02/12/16 - 3 ore

Approfondimenti ed esercizi sul programma svolto: trasformata Zeta, generalità sulla trasormata di Laplace, funzioni RP.

13/12/16 - 2 ore

Approfondimenti ed esercizi teorici sul programma svolto.

16/12/16 - 2 ore

Seconda prova di verifica