Registro delle lezioni a.a. 2017/18
Di seguito sono elencati gli argomenti svolti ad ogni lezione. Per le tracce delle lezioni si veda questa pagina.
26/09/2017 - 2 ore
Richiami sui numeri complessi. Funzioni complesse come trasformazioni del piano. Limite di successioni e limiti di funzioni in C; convergenza di serie numeriche in C e criterio di convergenza in modulo.
29/09/16 - 3 ore
La funzione esponenziale. Il concetto di infinito in C. Limiti, continuità, derivabilità di funzioni complesse. Funzioni analitiche: definizione ed esempi. Il teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche e ricostruzione di funzioni analitiche nota la parte reale o la parte immaginaria.03/10/16 - 2 ore
Teorema di Weierstrass dell'unicità dell'estensione analitica e sua applicazione alla ricostruzione di funzioni analitiche. Radici in campo complesso e risoluzione di equazioni algebriche. Logaritmo in C e sue proprietà. Le funzioni trigonometriche seno e coseno complesse.
06/10/17 - 3 ore
Curve regolari e generalmente regolari in C; lunghezza di una curva. Definizione di integrale di una funzione continua su una curva (generalmente) regolare e proprietà dell'integrale. Esempi. Teoremi di Cauchy: caso di una funzione analitica in un aperto contenente l'interno di una curva chiusa (I teorema di Cauchy), di una funzione che è analitica in un aperto contenente l'interno della curva tranne una regione (II teorema di cauchy) e di una funzione che è analitica in un aperto contenente l'interno della curva tranne un numero finito di regioni (III teorema di Cauchy). Consequenze e applicazioni.
10/10/17 - 2 ore
Singolarità isolate e di accumulazione; classificazione delle singolarità isolate: singolarità eliminabili, polari ed essenziali. Ordine di un polo. Serie di Laurent nell'intorno di una singolarità isolata; parte principale e parte analitica dello sviluppo. Unicità dello sviluppo, derivabilità termine a termine. Serie di Taylor per funzioni analitiche nell'intorno completo di un punto. Conseguenza: le funzioni analitiche in un aperto sono infinitamente derivabili in tale aperto. Differenze con il caso reale. Classificazione delle singolarità mediante sviluppo di Laurent nell'intorno del punto.
13/10/17 - 3 ore
Classificazione del punto all'infinito. Definizione di Residuo in un punto e primo teorema dei Residui. Formule per il calcolo dei residui nel caso di singolarità eliminabili o polari di ordine N. Esempi ed esercizi sul calcolo di integrali mediante il primo teorema dei Residui.
17/10/17 - 2 ore
Sviluppo in serie di Laurent all'infinito e Residuo all'infinito. Secondo teorema dei Residui. Calcolo del residuo all'infinito mediante inversione per raggi reciproci.
20/10/17 - 3 ore
Esempi ed esercizi sul calcolo del residuo all'infinito e sul calcolo di integrali. Teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra. Zeri di funzioni analitiche; unicità dell'estensione analitica.
24/10/17 - 2 ore
Comportamento di una funzione nell'intorno di una singolarità isolata; teorema di Casorati. Introduzione alla trasformata Zeta; richiami sulle serie di potenze. Successioni Z-trasformabili, raggio di convergenza e definizione di trasformata Zeta.
27/10/17 - 3 ore
Teorema di Abel. Caratterizzazione di una trasformata Zeta. Esempi ed esercizi sulla determinazione del raggio di convergenza. Antitrasformata Zeta: esistenza, unicità e calcolo mediante la teoria dei Residui. Il teorema del valore iniziale. Altri metodi per il calcolo dei primi termini dell'antitrasformata. Esempi. Proprietà di linearità.
31/10/17 - 2 ore
Proprietà dello smorzamento e moltiplicazione per n. Trasformate elementari: campionamento costante, lineare, polinomiale, esponenziale, trigonometrico. Proprietà della traslazione per la trasformata Zeta e applicazioni al calcolo della trasformata di successioni definite per casi.
03/11/17 - 2 ore
Esercizi ed approfondimenti sul programma oggetto della prima prova di verifica.
03/11/17 - 2 ore (ore 16)
Prima prova di verifica intercorso
07/11/17 - 2 ore
Convoluzione discreta e trasformata Zeta. Applicazione al calcolo dell'antitrasformata nel caso non razionale. Esempi ed esercizi di calcolo di trasformate e antitrasformate. Teorema del valore finale e sua applicabilità. Applicazione dell trasformata Zeta alla risoluzione di equazioni alle differenze.
10/11/17 - 3 ore
Il teorema del campionamento. Esempi e approfondimenti sulla trasformata Zeta. Trasformata di Laplace: definizione di classe Λ1 (funzioni trasformabili secondo Laplace) e di ascissa di convergenza, definizione di trasformata. Esempi.
14/11/17 - 2 ore
Semipiano di convergenza. Proprietà della trasformata di Laplace: analiticità nel semipiano di convergenza, decrescenza a zero per Re s tendente a +infinito, esistenze di almeno una singolarità con parte reale uguale all'ascissa di convergenza. Linearità della trasformata, teorema di derivazione (in forma classica), teorema di convoluzione, teorema di integrazione. Applicazioni a circuiti elettrici e funzioni di trasferimento.
17/11/17 - 3 ore
Introduzione alle funzioni reali positive; definizione di funzione reale e di funzione positiva, esempi. Proprietà delle funzioni R.P.: somma di funzioni R.P., prodotto di una costate positiva per una funzione R.P., reciproca di una funzione R.P. è ancora R.P. così come la funzione ottenuta per inversione per raggi reciproci. Funzioni razionali reali. Funzioni razionali positive: test delle 4 condizioni e sue conseguenze. Condizioni necessarie per la positività.
21/11/17 - 2 ore
Algoritmo di Euclide (divisioni successive) e applicazioni. Criterio di Talbot. Test di Hurwitz per stabilire se un polinomio ha tutte le radici con parte reale negativa. Applicazioni: utilizzo per il test delle 4 condizioni e per il criterio di Talbot. Esempi ed esercizi.
24/11/17 - 3 ore
Reti elettriche e funzioni R.P. Sintesi di reti: esempi. Definizione di funzione pari e dispari e loro proprietà. Funzioni razionali dispari. Criterio zero-poli per la positività delle funzioni razionali dispari. Esempi ed esercizi.
28/11/17 - 2 ore
L'algoritmo delle divisioni successive per la positività di funzioni reali dispari. Studio della positività per funzioni dipendenti da un parametro reale. Esempi ed esercizi.
01/12/17 - 3 ore
Approfondimenti ed esercizi sul programma svolto: trasformata e antitrasformata Zeta, funzioni RP. e loro proprietà.
12/12/17 - 2 ore
Esercizi ed approfondimenti sul programma svolto.
15/12/17 - 2 ore (ore 16)
Seconda prova di verifica intercorso