Registro delle lezioni a.a. 2011/12
Di seguito si riportano gli argomenti svolti a lezione, relativamente alla seconda parte del corso. La dicitura (dim) indica lo svolgimento della dimostrazione, mentre (no dim) indica che il risultato e` stato enunciato senza dimostrazione.
14 Novembre 2011 - 3 ore
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; generalita` ed esempi. Integrale generale, soluzioni particolari, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili: metodo per la determinazione dell'integrale generale, esistenza ed unicita` della soluzione del problema di Cauchy (no dim) e sue conseguenze.
Esercizi sulle equazioni a variabili separabili e problemi di Cauchy associati.
15 Novembre 2011 - 2 ore
EDO lineari del primo ordine: struttura dell'integrale generale dell'omogenea e della completa, loro determinazione, esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Esempi.
EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell' integrale generale della omogenea e della completa, determinazione dell'integrale generale della omogenea.
18 Novembre 2011 - 2 ore
EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione di una soluzione particolare della equazione completa mediante il metodo di somiglianza; esistenza ed unicita` per il problema di Cauchy (no dim). Esercizi sulla determinazione dell'integrale generale e sulla soluzione di problemi di Cauchy.
28 Novembre 2011 - 3 ore
Introduzione alle funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di continuita` e proprieta` principali. Definizione di arco di curva continua, sostegno della curva, curva chiusa, curva semplice. Derivabilita` e definizione di arco di curva regolare; vettore tangente e retta tangente in un punto ad una curva regolare. Curve regolari a tratti, unione di curve regolari. Integrale di una funzione vettoriale. Curve rettificabili e lunghezza di un arco di curva; teorema sulla rettificabilita` degli archi di curva regolari (solo idea della dimostrazione). Esempi: curve con sostegno il grafico di una funzione reale di una variabile, curve in forma polare; esercizi.
29 Novembre 2011 - 2 ore
Cambiamenti di parametrizzazione,curve equivalenti e cambiamenti di orientazione. Parametro d'arco (ascissa curvilinea): definizione e sue proprieta`. Integrali di linea di prima specie; applicazioni fisiche: calcolo della massa totale, delle coordinate del baricentro, del momento d'inerzia per linee materiali eventualmente non omogenee.
2 Dicembre 2011 - 2 ore
Complementi sugli integrali di linea di prima specie. Funzioni reali di piu` variabili: dominio, grafico ed insiemi di livello, limiti, continuita` e proprieta` relative. Condizione sufficiente per la non esistenza del limite. Esempi.
5 Dicembre 2011 - 3 ore
Criterio sufficiente per l'esistenza del limite. Limite all'infinito. Esempi di esistenza e non esistenza di limiti. Topologia in R^n: punti esterni, interni o di frontiera rispetto ad un insieme; insiemi aperti, chiusi, e loro proprietà. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue (dim). Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi connessi (per archi), insiemi limitati. Teorema di Weierstrass e teorema degli zeri per funzioni continue (dim). Applicazioni: studio del segno di una funzione di più variabili, teorema dei valori intermedi (dim) e determinazione dell'immagine di una funzione di più variabili. Esercizi sulla determinazione del dominio di funzioni di due variabili e sua analisi topologica.
6 Dicembre 2011 - 2 ore
Derivate parziali di funzioni di più variabili, gradiente, piano tangente. Differenziabilità di una funzione di 2 o più variabili (dim); relazione tra i concetti di continuità, derivabilità, differenziabilità. Approssimazione lineare di una funzione di più variabili. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Esercizi sul calcolo delle derivate parziali e sulla differenziabilità per funzioni di due variabili reali.
12 Dicembre 2011 - 3 ore
Esempio di studio della derivabilità e differenziabilità di una data funzione. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali: definizione, formula del gradiente (dim); direzioni di massima e minima crescita. Formule di calcolo per le derivate, derivazione di funzioni composte e applicazioni: ortogonalità del gradiente alle linee di livello (dim), teorema di Lagrange o del valor medio (dim). Derivate di ordine superiore e teorema di Schwartz (no dim). Definizione di funzione di classe C^k su un aperto (k naturale); notazione multiindice per le derivate di ordine k. Differenziale secondo di una funzione di n variabili e matrice hessiana. Esempi.
13 Dicembre 2011 - 2 ore
Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Lagrange (dim) e secondo Peano (no dim). Esempi di equazioni alle derivate parziali; verifica di una soluzione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione in n variabili. Definizione di punto di massimo (minimo) assoluto, di punto di massimo (minimo) relativo, di punto sella. Punti critici e loro ricerca: teorema di Fermat (dim). Esempi.
16 Dicembre 2011 -2 ore
Generalita` sulle forme quadratiche: definizione di forma definita positiva (negativa), semidefinita positiva (negativa), indefinita; caratterizzazione mediante gli autovalori (no dim); criterio nel caso n=2 e n >=3 mediante lo studio del segno dei minori principali della matrice associata (dim solo per n=2). Studio della natura dei punti critici liberi per una funzione di piu` variabili, mediante l'analisi della forma quadratica associata alla matrice hessiana. Esempi di casi indeterminati. Esercizi.
19 Dicembre 2011 - 3 ore
Funzioni definite implicitamente; teorema del Dini (no dim) e sua interpretazione geometrica; sviluppo di Taylor di funzioni implicite. Regolarita` delle curve del piano definite implicitamente. Teorema del Dini nel caso n-dimensionale. Esempi. Ottimizzazione vincolata: caso del vincolo parametrizzabile. Esempi ed esercizi.
20 Dicembre 2011 - 2 ore
Ottimizzazione vincolata: teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel piano (solo idea geometrica), funzione Lagrangiana. Studio dei massimi e minimi di una funzione di due variabili mediante le linee di livello. Esercizi riassuntivi su problemi di ottimizzazione: determinazione dei massimi e minimi assoluti nel caso di domini chiusi e limitati, determinazione dell'immagine di una funzione nel caso di dominio connesso.
9 Marzo 2012 - 3 ore
Generalità sulle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità, matrice Jacobiana e differenziale. Superfici in forma parametrica: superfici regolari, versore normale e piano tangente in un punto, superfici cartesiane e superfici di rotazione. Esempi ed esercizi.
13 Marzo 2012 - 2 ore
Invertibilità delle trasformazioni di coordinate in Rn (no dim.); coordinate polari nel piano, coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Integrale di Cauchy-Riemann di una funzione di due variabili: definizione e formula di riduzione nel caso di dominio rettangolare, insiemi x-semplici, y-semplici e domini regolari, insiemi di misura nulla. Esempi. Integrabilità di funzioni definite su domini regolari, limitate e continue tranne un insieme di misura nulla (no dim.)
16 Marzo 2012 - 3 ore
Proprietà degli integrali multipli. Metodo di riduzione per gli integrali su domini piani semplici. Massa totale, coordinate del baricentro, momento d'inerzia di una lamina materiale. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi (no dim.). Calcolo di integrali tripli: integrazione per "fili" e integrazione per "strati". Massa totale, coordinate del baricentro, momenti d'inerzia di una corpi materiali. Cambio di variabile negli integrali tripli. Esempi ed esercizi sul calcolo di integrali doppi e tripli.
20 Marzo 2012 - 2 ore
Campi vettoriali: linee di campo, operatore rotore, operatore divergenza e identità differenziali. Lavoro di un campo (integrale di linea di seconda specie) e proprietà di dipendenza dal verso di percorrenza. Campi conservativi: definizione e proprietà di dipendenza del lavoro dai soli punti iniziale e finale (dim).
23 Marzo 2012 - 3 ore
Caratterizzazione dei campi conservativi: equivalenza tra esistenza della funzione potenziale, indipendenza dal cammino e circuitazione nulla (dim). Determinazione del potenziale di un campo conservativo come lavoro da un punto fissato ad un punto generico. Esempio di campo non conservativo sul proprio dominio. Insiemi semplicemente connessi. Equivalenza tra irrotazionalità e conservatività per un campo C1 su un aperto semplicemente connesso (no dim). Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante integrazione delle componenti del campo. Linguaggio delle forme differenziali. Il teorema di Gauss-Green nel piano; insiemi con frontiera orientata positivamente.
27 Marzo 2012 - 2 ore
Dimostrazione della formula di Gauss-Green nel caso di dominio sia x-semplice sia y-semplice. Esempio di applicazione: calcolo di aree di domini regolari piani. Definizione di integrale di superficie per una funzione di tre variabili. Area di una superfice; esempi: area di una superficie cartesiana, area di una superficie di rotazione. Applicazioni fisiche: determinazione della massa totale, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia per una lamina materiale di densità superficiale assegnata.
30 Marzo 2012 - 3 ore
Superfici orientate; bordo di una superficie orientato positivamente; esempi. Superfici regolari a pezzi. Flusso di un campo attraverso una superficie orientata. Esempio: teorema di Gauss per l'elettrostatica. Teorema della divergenza (o di Gauss) - no dim.
03 Aprile 2012 - 2 ore
Teorema del rotore (o di Stokes) - no dim. Esempi: derivazione delle leggi di Maxwell dell'elettromagnetismo.
13 Aprile 2012 - 3 ore
Esercizi di riepilogo sul teorema della divergenza, teorema del rotore, flusso, integrali di superficie, integrali doppi e tripli.