Registro delle lezioni di Metodi Matematici - a.a 2012/13

17/09/2012 (2 ORE): Introduzione ed informazioni sul corso. Definizioni e formalismo usato.

18/09/2012 (2 ore): EDO I ordine: variabili saparabili, omogenee, lineari, Bernoulli.

21/09/2012 (2 ore):EDO I ordine esatte, fattore integrante. Esercizi su EDO  I ordine: variabili separabili, omogenee, lineari, Bernoulli, esatte ed uso del fattore integrante.

24/09/2012 (2 ore): il Problema a valori iniziali (PVI), definizione ed esempi. Enunciato del teorema di Cauchy.

28/09/2012 (2 ore): PVI, dimostrazione del teorema con il metodo delle iterate di Picard. Controesempi.

1/10/2012 (2 ore): Esistenza ed unicità globali, controesempio. Modelli matematici in teoria delle popolazioni: modello Malthusiano e modello logistico.

2/10/2012 (2 ore): EDO II ordine,  EDO ricondicibili al I ordine, metodo di integrazione per quadrature. EDO II ordine lineari, operatori lineari e spazi vettoriali, forma della soluzione generale. Esistenza ed unicità per il PVI delle EDO  lineari del II ordine; Wronkiano e teorema di Abel.

9/10/2012 (2 ore): Dipendenza e indipendenza lineare di due funzioni (e di n funzioni); Wronkiano e condizioni sufficienti per tali proprietà; condizione necessaria e sufficiente per l'indipendenza lineare di due soluzioni di un EDO lineare del II ordine (e di ordine n). Formule risolutive per le soluzioni di EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti.

12/10/2012 (2 ore): Oscillatore armonico, soluzione del PVI ed analisi qualitativa ne piano delle fasi. EDO del punto sella: ritratto di fase.

15/10/2012 (2 ore): EDO del punto sella: soluzione del PVI. Oscillatore armonico debolmente smorzato: soluzione e analisi delle sue proprietà; analisi qualitativa e ritratto di fase: spirale o fuoco stabile.

19/10/2012 (2 ore): oscillatore armonico fortemente smorzato, soluzione del PVI e discussione delle sue proprietà; analisi qualitativa e ritratto di fase,nodo stabile.

23/10/2012 (2 ore): EDO lineari II ordine non omogenee, ricerca della soluzione particolare con il metodo dei coefficienti indeterminati e con il metodo di variazione delle costanti. Modelli matematici: l'oscillatore armonico smorzato e forzato.

26/10/2012 (2 ore): oscillatore armonico smorzato e forzato, risonanza; risonanza in assenza di smorzamento;  battimenti.

30/10/2012 (2 ore): EDO e sistemi di EDO come equazioni del primo ordine "vettoriali" in R^n. Il caso lineare; esempi del problema agli autovalori ed autovettori.

6/11/2012 (2 ore): Teorema di esistenza ed unicità locale per il  PVI per EDO in R^n; condizioni di esistenza ed unicità globali. EDO lineari in R^n, lo spazio lineare delle soluzioni; soluzione generale nel caso di n autovalori distinti della matrice; il caso di autovalori (ed autovettori) complessi; la matrice esponenziale come soluzione, ricerca di soluzioni aggiuntive nel caso di autovalori di molteplicità maggiore di uno. 

9/11/2012 (2 ore):  Definizione di stabilità secondo Liapunov, asintotica stabilità. Caso lineare, proprietà di stabilità di tutte le soluzioni, criterio di stabilità lineare. Criterio di stabilità in prima approssimazione, esempi.

13/11/2012 (2 ore): Criterio della funzione di Liapunov (con dimostrazione), esempi nei casi lineari (oscillatore armonico ed oscillatore armonico smorzato); criterio di Liapunov per l'asintotica stabilità.

16/11/2012 (2 ore): Equazione del pendolo non lineare: integrazione per quadrature ed analisi qualitativa, ritratto di fase.

19/11/2012 (2 ore): Equazione del pendolo non lineare: stima del tempo di oscillazione e calcolo del periodo. EDO del II ordine "conservative": ritratto di fase con il metodo dell'energia.

23/11/2012 (2 ore): Il modello preda-predatore: le soluzioni di equilibrio e le loro proprietà di stabilità, il campo vettoriale, l'equazione per la famiglia di orbite nel piano delle fasi. 

27/11/2012 (2 ore): Valori medi delle soluzioni nel modello preda-predatore, effetto pesca; il modello epidemiologico SIR. Esercizi su PVI per EDO II ordine, lineari, a coefficienti costanti, non omogenee.

30/11/2012 (2 ore): Successioni di funzioni, convergenza puntuale ed uniforme, successioni di Cauchy, integrazione e derivazione termine a termine; serie di funzioni, convergenza totale, integrazione e derivazione termine a termine; serie di potenze, raggio di convergenza, criterio della radice e del rapporto; serie di Taylor.

 4/12/2012 (2 ore): Spazi lineari, combinazione lineare ed indipendenza lineare, base, prodotto interno, norma. Base ortonormale e procedura di Gram-Schmidt, proiezione ortogonale e base approssimante. Spazi completi (Banach) e spazi unitari completi (Hilbert). Spazi L^p e L^2.

7/12/2012 (2 ore): Spazi lineari unitari, disuguaglianze di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza di Minkowski, disuguaglianza di Bessel, identità di Parseval. Introduzione alla serie di Fourier, l'equazione del calore (diffusione) unidimensionale su un intervallo; polinomi trigonometrici, calcolo dei coefficienti.

11/12/2012 (2 ore): Lo spazio di Hilbert L^2([-pi.pi]), la base reale e la base complessa; la serie di Fourier e il Teorema di Parseval; proprietà di simmetria, serie di coseni e serie di seni. Convergenza puntuale e criteri di Dirichlet.

14/12/2012 (2 ore): Serie di Fourier: condizioni per la convergenza uniforme, il fenomeno di Gibbs; condizioni per l'integrazione e per la derivazione termine a termine; grado di regolarità della funzione sviluppata e andamento a zero  dei coefficienti della serie. Esercizi sulla serie di Fourier.

18/12/2012 (2 ore): Esercizi sulla serie di Fourier.