Registro delle lezioni a.a. 2012/13
Di seguito si riportano gli argomenti svolti a lezione, relativamente alla seconda parte del corso. La dicitura (dim) indica lo svolgimento della dimostrazione, mentre (no dim) indica che il risultato è stato enunciato senza dimostrazione.
12 Marzo 2013 - 3 ore
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; generalità ed esempi. Integrale generale, soluzioni particolari, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili: metodo per la determinazione dell'integrale generale, esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy (no dim) e sue conseguenze.
Esercizi sulle equazioni a variabili separabili e problemi di Cauchy associati.
14 Marzo 2013 - 3 ore
Generalità sulle EDO lineari di ordine n: spazio delle soluzioni della equazione omogenea e integrale generale della non omogenea. Esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy (no dim.). EDO lineari del primo ordine: integrale generale dell'omogenea e della completa. Esempi di determinazione dell'integrale generale e della risoluzione di problemi di Cauchy. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione dell'integrale generale della omogenea.
19 Marzo 2013 - 3 ore
EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione di una soluzione particolare della equazione completa mediante il metodo di somiglianza; principio di sovrapposizione. Esercizi sulla determinazione dell'integrale generale.
21 Marzo 2013 - 3 ore
Introduzione alle funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di continuità e proprietà principali. Definizione di arco di curva continua, sostegno della curva, curva chiusa, curva semplice. Derivabilità e definizione di arco di curva regolare; vettore tangente e retta tangente in un punto ad una curva regolare. Curve regolari a tratti, unione di curve regolari. Integrale di una funzione vettoriale. Curve rettificabili e lunghezza di un arco di curva; teorema sulla rettificabilità degli archi di curva regolari (solo idea della dimostrazione). Esempi: curve con sostegno il grafico di una funzione reale di una variabile, curve in forma polare; esercizi.
26 Marzo 2013 - 3 ore
Cambiamenti di parametrizzazione,curve equivalenti e cambiamenti di orientazione. Parametro d'arco (ascissa curvilinea): definizione e sue proprieta`. Integrali di linea di prima specie; applicazioni fisiche: calcolo della massa totale, delle coordinate del baricentro, del momento d'inerzia per linee materiali eventualmente non omogenee.
4 Aprile 2013 - 3 ore
Funzioni reali di più variabili: dominio, grafico ed insiemi di livello, limiti, continuità e proprietà relative. Condizione sufficiente per la non esistenza del limite. Esempi. Criterio sufficiente per l'esistenza del limite. Limite all'infinito. Esempi di esistenza e non esistenza di limiti. Topologia in R^n: punti esterni, interni o di frontiera rispetto ad un insieme.
9 Aprile 2013 - 3 ore
Insiemi aperti, chiusi, e loro proprietà. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue (dim). Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi connessi (per archi), insiemi limitati. [Fine degli argomenti per il secondo compitino] Proprietà delle funzioni continue di più variabili: teorema di Weierstrass (no dim.), teorema degli zeri (dim), teorema dei valori intermedi (dim). Applicazioni: studio del segno di una funzione di più variabili. Esercizi sulla determinazione del dominio di funzioni di due variabili e sua analisi topologica. Derivate parziali di funzioni di due o più variabili. Esempi.
11 Aprile 2013 - 3 ore
Gradiente, (iper)piano tangente al grafico di una funzione di più variabili. Differenziabilità di una funzione di 2 o più variabili (dim); relazione tra i concetti di continuità, derivabilità, differenziabilità. Approssimazione lineare di una funzione di più variabili. Esercizi sul calcolo delle derivate parziali e sulla differenziabilità per funzioni di due variabili reali ed esempio di studio della derivabilità e differenziabilità di una data funzione. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali: definizione, formula del gradiente (dim); direzioni di massima e minima crescita. Formule di calcolo per le derivate, derivazione di funzioni composte e applicazioni: ortogonalità del gradiente alle linee di livello (dim).
16 Aprile 2013 - 3 ore
Teorema di Lagrange o del valor medio (dim). Derivate di ordine superiore e teorema di Schwartz (no dim). Definizione di funzione di classe C^k su un aperto (k naturale). Differenziale secondo di una funzione di n variabili e matrice hessiana. Esempi. Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Lagrange e secondo Peano (no dim). Introduzione ai problemi di ottimizzazione in n variabili: ottimizzazione libera (in un insieme aperto) e vincolata (sulla frontiera di un insieme aperto). Definizione di punto di massimo (minimo) assoluto, di punto di massimo (minimo) relativo, di punto sella. Studio dei massimi e minimi di una funzione di due variabili mediante le linee di livello: ottimizzazione libera e vincolata, determinazione del massimo e minimo assoluto su insiemi chiusi e limitati per funzioni continue. Punti critici e loro ricerca: teorema di Fermat (dim). Esempi.
18 Aprile 2013 - 3 ore
Generalità sulle forme quadratiche: definizione di forma definita positiva (negativa), semidefinita positiva (negativa), indefinita; caratterizzazione mediante gli autovalori (no dim); criterio nel caso n=2 e n >=3 mediante lo studio del segno dei minori principali della matrice associata (dim solo per n=2). Studio della natura dei punti critici liberi per una funzione di più variabili, mediante l'analisi della forma quadratica associata alla matrice hessiana. Esempi di casi indeterminati ed esercizi. Ottimizzazione vincolata: caso in cui il vincolo sia una curva parametrizzabile.
23 Aprile 2013 - 3 ore
Regolarità delle curve definite implicitamente. Ottimizzazione vincolata: teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel piano (solo idea geometrica), funzione Lagrangiana. Esercizi riassuntivi su problemi di ottimizzazione: determinazione dei massimi e minimi assoluti nel caso di domini chiusi e limitati, determinazione dell'immagine di una funzione nel caso di dominio connesso. Moltiplicatori di Lagrange a dimensione maggiore di 2; esempio.
30 Aprile 2013 - 3 ore
Generalità sulle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità, matrice Jacobiana e differenziale. Superfici in forma parametrica: superfici regolari, versore normale e piano tangente in un punto, superfici cartesiane e superfici di rotazione. Esempi ed esercizi.
02 Maggio 2013 - 3 ore
Invertibilità delle trasformazioni di coordinate in Rn (no dim.); coordinate polari nel piano, coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Integrale di Cauchy-Riemann per una funzione di due variabili: definizione e formula di riduzione nel caso di dominio rettangolare. Definizione di integrabilità di una funzione su un cominio piano generico, misurabilità di un insieme, insiemi di misura nulla. Insiemi x-semplici, y-semplici e domini regolari. Esempi. Integrabilità di funzioni continue, e di funzioni limitate e continue tranne un insieme di misura nulla su domini regolari (no dim.). Principali proprietà degli integrali doppi. Metodo di riduzione per gli integrali su domini piani semplici.
07 Maggio 2013 - 3 ore
Massa totale, coordinate del baricentro, momento d'inerzia di una lamina materiale. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi: trasformazione dell'elemento di area infinitesimo (solo idea della dim.). Calcolo di integrali tripli: integrazione per "fili" e integrazione per "strati". Massa totale, coordinate del baricentro, momenti d'inerzia di una corpi materiali. Cambio di variabile negli integrali tripli (no dim.). Esempi ed esercizi sul calcolo di integrali doppi e tripli.
09 Maggio 2013 - 3 ore
Campi vettoriali: linee di campo, operatore rotore, operatore divergenza e identità differenziali. Lavoro di un campo (integrale di linea di seconda specie) e proprietà di dipendenza dal verso di percorrenza. Campi conservativi: definizione e proprietà di dipendenza del lavoro dai soli punti iniziale e finale (dim). Caratterizzazione dei campi conservativi: equivalenza tra esistenza della funzione potenziale, indipendenza dal cammino e circuitazione nulla (dim).
14 Maggio 2013 - 3 ore
Esempio di campo non conservativo sul proprio dominio, ma irrotazionale. Insiemi semplicemente connessi. Equivalenza tra irrotazionalità e conservatività per un campo C1 su un aperto semplicemente connesso (no dim). Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante integrazione delle componenti del campo e mediante il calcolo del lavoro da un punto fissato ad un punto generico. Linguaggio delle forme differenziali. Il teorema di Gauss-Green nel piano (no dim); insiemi con frontiera orientata positivamente. Interpretazione fisica del teorema di Gauss-Green
16 Maggio 2013
Esempi di applicazione del teorema di gauss-Green; calcolo di aree di domini regolari piani. Definizione di integrale di superficie per una funzione di tre variabili. Area di una superfice; esempi: area di una superficie cartesiana, area di una superficie di rotazione. Applicazioni fisiche: determinazione della massa totale, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia per una lamina materiale di densità superficiale assegnata. Superfici orientabili; esempio di superficie non orientabile (nastro di Möebius), orientazione di una superficie.
21 Maggio 2013
Flusso di un campo attraverso una superficie orientata. Esempio: teorema di Gauss per l'elettrostatica. [Fine degli argomenti per il terzo compitino] Bordo di una superficie orientato positivamente; esempi. Superfici regolari a pezzi. Teorema della divergenza (o di Gauss) - no dim, teorema del rotore (o di Stokes) - no dim, e loro interpretazione fisica. Esempi ed esercizi.
23 Maggio 2013
Esempi di applicazione del teorema del rotore e della divergenza: derivazione delle leggi di Maxwell dell'elettromagnetismo. Esercizi di riepilogo sul teorema della divergenza, teorema del rotore, e sul calcolo di flussi.
28 Maggio 2013
Esercizi ri riepilogo sul programma svolto.