Registro delle lezioni a.a. 2013/14

3/10/2013 (2 ore): Introduzione al corso: organizzazione e presentazione del programma. Esempi di problemi nell'ambito delle equazioni differenziali.

4/10/2013 (2 ore): Definizioni. EDO I ordine: equazioni a variabili separabili, equazioni di tipo omogeneo. Esercizi.

10/10/2013 (2 ore): EDO I ordine: lineari, di Bernoulli, esatte. Metodo di variazione delle costanti e del fattore integrante. 

11/10/2013 (2 ore): Forma generale unificante di EDO e sistemi di EDO, esempi. Teorema di Cauchy (esistenza e unicità) per il PVI: I parte.

17/10/2013 (2 ore): Teorema di Cauchy (esistenza e unicità) per il PVI: II parte. Controesempi per l'unicità. Modelli matematici in teoria delle popolazioni: modello malthusiano e modello logistico.

18/10/2013 (2 ore): Modello logistico: soluzione del PVI ed analisi qualitativa. EDO II ordine riconducibili al I ordine. Spazi vettoriali di funzioni, le derivate come operatori lineari. EDO II ordine lineari come equazioni in spazi vettoriali. Il PVI per EDO lineari del II ordine: il determinante Wronskiano.

24/10/2013 (2 ore): Il teorema di Abel; dipendenza e indipendenza lineare di due (e di n) funzioni. Condizione necessaria e sufficiente perché due (n) soluzioni siano linearmente indipendenti è che il Wronskiano sia non nullo. Soluzione generale delle EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti. L'equazione caratteristica come soluzione del problema agli autovalori.

25/10/2013 (2 ore): EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti: le soluzioni fondamentali per autovalori reali, distinti e coincidenti, e per autovalori complessi coniugati. Modelli matematici per EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti: l'oscillatore armonico; soluzione del PVI ed analisi qualitativa sul piano delle fasi: il centro.

29/10/2013 (3 ore): Definizione di stabilità secondo Liapunov. Il modello dell'equazione del punto sella: soluzione del PVI ed analisi qualitativa nel piano delle fasi. Introduzione al modello dell'oscillatore armonico smorzato.

31/10/2013 (2 ore): Oscillatore armonico debolmente smorzato: soluzione esatta e discussione delle sue proprietà; analisi qualitativa nel piano delle fasi.

5/11/2013 (3 ore): Oscillatore armonico fortemente smorzato: soluzione esatta del PVI e discussione delle sue proprietà; analisi qualitativa nel piano delle fasi. Soluzione delle EDO II ordine complete: i teoremi fondamentali e il metodo si variazione delle costanti.

7/11/2013 (2 ore): EDO II ordine, lineari a coefficienti costanti: metodo dei coefficienti indeterminati. Esempi ed esercizi.

8/11/2013 (2 ore): Esercizi su EDO II ordine a coefficienti costanti non omogenee con il metodo dei coefficienti indeterminati ed il metodo di variazione delle costanti. Modelli matematici: risonanza lineare.

12/1172013 (3 ore): Modelli matematici: risonanza lineare, risonanza in assenza di smorzamento, battimenti. Forma vettoriale per equazioni e sistemi di equazioni differenziali di ordine n. Il teorema di Cauchy per il PVI. Le condizioni per l'esistenza globale.

14/11/2013 (2 ore): EDO lineari di ordine n: il problema agli autovalori e autovettori e la soluzione generale; la matrice esponenziale ed il calcolo degli autovettori generalizzati.

15/11/2013 (2 ore): EDO lineari di ordine n: esercizi su ricerca di autovalori ed autovettori e autovettori generalizzati. Introduzione alla stabilità secondo Liapunov.

21/11/2013 (2 ore): Definizione di stabilità secondo Liapunov, stabilità di soluzioni stazionarie; caso dei sistemi lineari. Criterio di stabilità lineare e di stabilità in prima approssimazione. Criterio della funzione di Liapunov.

22/11/2013 (1 ora): Criterio della funzione di Liapunov: dimostrazione ed esempi.

29/11/2013 (2 ore): Pendolo non lineare: analisi qualitativa e ritratto di fase.

6/12/2013 (2 ore): Pendolo non lineare: stima del periodo. Modello preda-predatore: soluzioni di equilibrio e discussione della stabilità, il campo vettoriale, l'effetto pesca.

7/12/2013 (2 ore): Funzione di Liapunov per il modello preda-predatore. Successioni di funzioni, convergenza puntuale e convergenza uniforme; successioni di Cauchy; continuità del limite, integrazione e derivazione termine a termine. Serie di funzioni: convergenza assoluta e convergenza totale.

10/12/2013 (3 ore): Serie di potenze, raggio di convergenza, criteri della radice e del rapporto; serie di Taylor e di MacLaurin. Esercizi di calcolo del raggio di convergenza.

12/12/2013 (2 ore): Equazioni a derivate parziali, la diffusione e l'equazione unidimensionale delle onde: problema al contorno su dominio finito e a valori iniziali, introduzione alla serie di Fourier. Spazi lineari di funzioni, introduzione.

13/12/2013 (2 ore): Spazi lineari, norma, prodotto interno; spazi unitari, basi ortonormali e metodo di Gram-Scmidt; proiezione ortogonale e migliore approssimazione in norma. Disuguaglianze di Cauchy-Schwartz, Minkowski e Bessel. Spazi di Banach e di Hilbert.

19/12/2013 (2 ore): Serie di Fourier: convergenza in media quadratica, identità di Parseval, serie reale e serie complessa; funzioni definite su un intervallo, funzioni periodiche, funzioni pari e funzioni dispari.

20/12/2013 (2 ore): Convergenza puntuale e convergenza uniforme della serie di Fourier: il teorema di Dirichlet. Esercizi.