Registro delle lezioni a.a. 2013/14
Di seguito si riportano gli argomenti svolti a lezione, relativamente alla seconda parte del corso. La dicitura (dim) indica lo svolgimento della dimostrazione, mentre (no dim) indica che il risultato è stato enunciato senza dimostrazione.
04 Marzo 2014 - 3 ore
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; generalità ed esempi. Integrale generale, soluzioni particolari, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili: metodo per la determinazione dell'integrale generale (dim), esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy (no dim) e sue conseguenze.
Esercizi sulle equazioni a variabili separabili e problemi di Cauchy associati.
06 Marzo 2014 - 3 ore
Generalità sulle EDO lineari di ordine n: spazio delle soluzioni della equazione omogenea e integrale generale della non omogenea (dim). Esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy (no dim.). EDO lineari del primo ordine: integrale generale dell'omogenea e della completa (dim). Esempi di determinazione dell'integrale generale e della risoluzione di problemi di Cauchy.
11 Marzo 2014 - 3 ore
EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione dell'integrale generale della omogenea associata e di una soluzione particolare della equazione completa mediante il metodo di somiglianza. Principio di sovrapposizione. Esercizi sulla determinazione dell'integrale generale.
13 Marzo 2014 - 3 ore
Introduzione alle funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di continuità e proprietà principali. Definizione di arco di curva continua, sostegno della curva, curva chiusa, curva semplice. Derivabilità e definizione di arco di curva regolare; vettore tangente e retta tangente in un punto ad una curva regolare. Curve regolari a tratti, unione di curve regolari. Integrale di una funzione vettoriale. Curve rettificabili; teorema sulla rettificabilità degli archi di curva regolari (dim). Lunghezza di un arco di curva (solo idea della dimostrazione). Esempi: curve con sostegno il grafico di una funzione reale di una variabile, curve in forma polare; esercizi.
18 Marzo 2014 - 3 ore
Cambiamenti di parametro per una curva, curve equivalenti e cambiamenti di orientazione. Parametro d'arco (ascissa curvilinea): definizione e sue proprietà. Integrali di linea di prima specie; applicazioni fisiche: calcolo della massa totale, delle coordinate del baricentro, del momento d'inerzia per linee materiali eventualmente non omogenee.
20 Marzo 2014 - 3 ore
Esercizi di riepilogo sulle curve parametriche e sugli integrali di linea di prima specie. Funzioni reali di più variabili: dominio, grafico ed insiemi di livello, limiti, continuità e proprietà relative. Condizione sufficiente per la non esistenza del limite. Esempi. Criterio sufficiente per l'esistenza del limite. Limite all'infinito. Esempi di esistenza e non esistenza di limiti.
25 Marzo 2014 - 3 ore
Topologia in Rn: punti esterni, interni o di frontiera rispetto ad un insieme. Insiemi aperti, chiusi, e loro proprietà. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue (dim). Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi connessi (per archi), insiemi limitati. Proprietà delle funzioni continue di più variabili: teorema di Weierstrass (no dim.), teorema degli zeri (dim), teorema dei valori intermedi (dim). Applicazioni: studio del segno di una funzione di più variabili. Esercizi sulla determinazione del dominio di funzioni di due variabili e sua analisi topologica. Derivate parziali di funzioni di due o più variabili. Esempi.
[Fine degli argomenti per il secondo compitino]
27 Marzo 2014 - 3 ore
Gradiente, (iper)piano tangente al grafico di una funzione di più variabili, differenziabilità di una funzione di 2 o più variabili. Relazione tra i concetti di continuità, derivabilità, differenziabilità, esistenza del piano tamgente (dim). Approssimazione lineare di una funzione di più variabili. Esercizi sul calcolo delle derivate parziali e sulla differenziabilità per funzioni di due variabili reali ed esempio di studio della derivabilità e differenziabilità di una data funzione. Condizione sufficiente per la differenziabilità (no dim). Derivate direzionali: definizione, formula del gradiente (dim).
1 Aprile 2014 - 3 ore
Direzioni di massima e minima crescita. Formule di calcolo per le derivate, derivazione di funzioni composte e applicazioni: ortogonalità del gradiente alle linee di livello (dim). Teorema di Lagrange o del valor medio (dim). Derivate di ordine superiore e teorema di Schwartz (no dim).
3 Aprile 2014 - 3 ore
Definizione di funzione di classe Ck su un aperto (k naturale). Differenziale secondo di una funzione di n variabili e matrice hessiana. Esempi. Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Lagrange e secondo Peano (no dim). Introduzione ai problemi di ottimizzazione in n variabili: ottimizzazione libera (in un insieme aperto) e vincolata (sulla frontiera di un insieme aperto). Definizione di punto di massimo (minimo) assoluto, di punto di massimo (minimo) relativo, di punto sella. Punti critici e loro ricerca: teorema di Fermat (dim). Esempi. Generalità sulle forme quadratiche: definizione di forma definita positiva (negativa), semidefinita positiva (negativa), indefinita; caratterizzazione mediante gli autovalori (no dim); criterio nel caso n=2 mediante lo studio del segno del determinante e della traccia della matrice hessiana (dim).
15 Aprile 2014 - 3 ore
Criterio affinchè una forma quadratica sia definita positiva/negativa nel caso n >=3 mediante lo studio del segno dei minori principali della matrice associata (no dim.). Esempi di studio della natura dei punti critici liberi per una funzione di più variabili, mediante l'analisi della forma quadratica associata alla matrice hessiana. Esempi di casi indeterminati ed esercizi. Ottimizzazione vincolata: caso in cui il vincolo sia una curva parametrizzabile. Regolarità delle curve definite implicitamente e teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel piano (solo idea geometrica).
24 Aprile 2014 - 3 ore
Moltiplicatori di Lagrange a dimensione maggiore di 2. Funzione Lagrangiana. Esercizi riassuntivi su problemi di ottimizzazione: determinazione dei massimi e minimi assoluti nel caso di domini chiusi e limitati, determinazione dell'immagine di una funzione nel caso di dominio connesso; ricerca del massimo e minimo assoluto mediante lo studio delle linee di livello.
29 Aprile 2014 - 3 ore
Generalità sulle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità, matrice Jacobiana e differenziale. Superfici in forma parametrica: superfici regolari, versore normale e piano tangente in un punto, superfici cartesiane e superfici di rotazione. Esempi ed esercizi.
6 Maggio 2014 - 3 ore
Invertibilità delle trasformazioni di coordinate in Rn (no dim.); coordinate polari nel piano, coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Integrale di Cauchy-Riemann per una funzione di due variabili: definizione e formula di riduzione nel caso di dominio rettangolare. Definizione di integrabilità di una funzione su un dominio piano generico, misurabilità di un insieme, insiemi di misura nulla. Insiemi x-semplici, y-semplici e domini regolari. Esempi. Integrabilità di funzioni continue, e di funzioni limitate e continue tranne un insieme di misura nulla su domini regolari (no dim.). Principali proprietà degli integrali doppi. Metodo di riduzione per gli integrali su domini piani semplici.
8 Maggio 2014 - 3 ore
Massa totale, coordinate del baricentro, momento d'inerzia di una lamina materiale. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi: trasformazione dell'elemento di area infinitesimo (solo idea della dim.). Calcolo di integrali tripli: integrazione per "fili" e integrazione per "strati". Massa totale, coordinate del baricentro, momenti d'inerzia di una corpi materiali. Cambio di variabile negli integrali tripli (no dim.). Esempi ed esercizi sul calcolo di integrali doppi e tripli.
13 Maggio 2014 - 3 ore
Campi vettoriali: generalità, operatore rotore, operatore divergenza e identità differenziali. Lavoro di un campo (integrale di linea di seconda specie) e proprietà di dipendenza dal verso di percorrenza. Campi conservativi: definizione e proprietà di dipendenza del lavoro dai soli punti iniziale e finale (dim). Caratterizzazione dei campi conservativi: equivalenza tra esistenza della funzione potenziale, indipendenza dal cammino e circuitazione nulla (dim).
15 Maggio 2014 - 3 ore
Esempio di campo non conservativo sul proprio dominio, ma irrotazionale. Insiemi semplicemente connessi. Equivalenza tra irrotazionalità e conservatività per un campo C1 su un aperto semplicemente connesso (no dim). Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante integrazione diretta delle componenti del campo e mediante il calcolo del lavoro da un punto fissato ad un punto generico. Linguaggio delle forme differenziali. Definizione di integrale di superficie per una funzione di tre variabili. Area di una superfice; esempi: area di una superficie cartesiana, area di una superficie di rotazione. Applicazioni fisiche: determinazione della massa totale, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia per una lamina materiale di densità superficiale assegnata.
20 Maggio 2014 - 3 ore
Superfici orientabili; esempio di superficie non orientabile (nastro di Möebius), orientazione di una superficie. Flusso di un campo attraverso una superficie orientata. Esempio: teorema di Gauss per l'elettrostatica. [Fine degli argomenti per il terzo compitino] Teorema della divergenza (o di Gauss) (no dim) e sua interpretazione fisica. Esempio di applicazione del teorema della divergenza nella derivazione di una delle leggi di Maxwell dell'elettromagnetismo.
22 Maggio 2014 - 3 ore
Orientazione positiva delbordo di un dominio piano. Bordo di una superficie e sua orientazione positiva per una superficie orientata; esempi. Superfici regolari a pezzi. Teorema del rotore (o di Stokes) (no dim) e sua interpretazione fisica. Esempio di applicazione del teorema del rotore nella derivazione di una delle leggi di Maxwell dell'elettromagnetismo. Teorema di Gauss-Green come caso particolare del teorema del rotore per superfici piane. Esempio di applicazione del teorema di Gauss-Green nel calcolo di aree di domini regolari piani. Esempi ed esercizi.
27 Maggio 2014 - 3 ore
Esercizi di riepilogo sul programma svolto.