Registro delle lezioni a.a. 2016/17
10 Aprile 2017 - 2 ore
Generalità sulle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità, matrice Jacobiana e differenziale. Superfici in forma parametrica: superfici regolari, versore normale e piano tangente in un punto. Superfici cartesiane. Esempi
11 Aprile 2017 - 3 ore
Superfici di rotazione. Esercizi sulle superfici parametriche. Introduzione all'integrale di Cauchy-Riemann per una funzione di due variabili. Formule di riduzione nel caso di dominio rettangolare. Insiemi x-semplici e y-semplici.
20 Aprile 2017 - 2 ore
Insiemi semplici e insiemi regolari. Integrabilità di funzioni continue su insiemi regolari. Insiemi misurabili e insiemi di misura nulla. Proprietà degli integrali doppi: linearità, monotonia rispetto alla funzione integranda, monotonia rispetto al dominio, additività rispetto al dominio. Integrabilità di funzioni limitate e continue tranne un insieme di misura nulla su insiemi regolari. Formule di riduzione per insiemi x-semplici o y-semplici. Esempi ed esercizi sulla scrittura di domini come unione di insiemi semplici e sul calcolo di integrali doppi.
27 Aprile 2017 - 2 ore
Simmetrie nel piano; funzioni pari e dispari rispetto ad una fissata simmetria e calcolo di integrali estesi ad insiemi regolari dotati di simmetria. Massa totale, coordinate del baricentro, momento d'inerzia di una lamina materiale. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi: trasformazione dell'elemento di area infinitesimo (solo idea della dim.).
2 Maggio 2017 - 3 ore
Calcolo di integrali tripli: integrazione per "fili" e integrazione per "strati". Massa totale, coordinate del baricentro, momenti d'inerzia di una corpi materiali tridimensionali. Cambio di variabile negli integrali tripli (no dim.). Esempi ed esercizi sul calcolo di integrali doppi e tripli.
4 Maggio 2017 - 2 ore
Campi vettoriali: generalità, operatore rotore, operatore divergenza e identità differenziali. Lavoro di un campo (integrale di linea di seconda specie).
8 Maggio 2017 - 2 ore
Proprietà di invarianza per parametrizzazioni equivalenti e di dipendenza dal verso di percorrenza del lavoro. Campi conservativi: definizione tramite funzione potenziale e proprietà di dipendenza del lavoro dai soli punti iniziale e finale (dim). Caratterizzazione dei campi conservativi: equivalenza tra esistenza della funzione potenziale, indipendenza dal cammino e circuitazione nulla (dim). Esempi.
9 Maggio 2017 - 3 ore
Condizione necessaria perché un campo sia conservativo: irrotazionalità. Esempio di campo non conservativo sul proprio dominio, ma irrotazionale. Insiemi semplicemente connessi. Equivalenza tra irrotazionalità e conservatività per un campo C1 su un aperto semplicemente connesso (no dim). Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante integrazione diretta delle componenti del campo. Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante il calcolo del lavoro da un punto fissato ad un punto generico. Linguaggio delle forme differenziali.Esempi ed esercizi.
11 Maggio 2017 - 2 ore
Definizione di integrale di superficie per una funzione di tre variabili. Area di una superfice; esempi: area di una superficie cartesiana, area di una superficie di rotazione. Applicazioni fisiche: determinazione della massa totale, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia per una lamina materiale di densità superficiale assegnata. Superfici orientabili; esempio di superficie non orientabile (nastro di Möebius), orientazione di una superficie. Flusso di un campo attraverso una superficie orientata. Esempio: teorema di Gauss per l'elettrostatica.
15 Maggio 2017 - 2 ore
Teorema della divergenza (o di Gauss) (no dim) e sua interpretazione fisica. Esempi di applicazione anche per superfici non chiuse. Bordo di una superficie e sua orientazione positiva per una superficie orientata; esempi. Superfici regolari a pezzi.
16 Maggio 2017 - 3 ore
Teorema del rotore (o di Stokes) (no dim) e sua interpretazione fisica. Teorema di Gauss-Green come caso particolare del teorema del rotore per superfici piane. Esempio di applicazione del teorema di Gauss-Green nel calcolo di aree di domini regolari piani. Esempi ed esercizi. Dalle equazioni gobali alle equazioni puntuali: esempio di applicazione del teorema della divergenza e del teorema del rotore nella derivazione delle leggi di Maxwell dell'elettromagnetismo.
18 Maggio 2017 - 2 ore
Esercizi sul teorema del rotore e della divergenza. Uso del teorema di Gauss-Green per verificare se un campo piano irrotazionale è conservativo. Operatori differenziali e cambiamento di coordinate: gradiente in coordinate polari e cenni sul gradiente, rotore e divergenza in coordinate sferiche e cilindriche.
22 Maggio 2017 - 2 ore
Esercizi di riepilogo sul programma svolto.
23 Maggio 2017 - 3 ore
Esercizi di riepilogo sul programma svolto.