Registro delle lezioni a.a. 2017/18
1) 25/09/2017 (3 ore): Introduzione al corso, illustrazione dei contenuti (con esempi) e delle modalità di verifica. Richiami sulle successioni numeriche.
2) 27/09/2017 (2 ore): Richiami sulle serie numeriche, definizioni, condizione necessaria per la convergenza, criterio di Cauchy, criterio del rapporto e della radice. Serie geometrica, esempi.
3) 28/09/2017 (2 ore): Successioni di funzioni, tipi di convergenza (puntuale e uniforme). Criterio di Cauchy per la convergenza. Serie di funzioni e loro convergenza, convergenza assoluta e convergenza totale. Serie di potenze e loro proprietà, criterio di Leibniz, raggio di convergenza.
4) 2/10/2017 (3 ore): Criteri di convergenza per le serie di potenze (rapporto e radice). Serie di Taylor e di MacLaurin. Esempi di serie di funzioni e di potenze, calcolo di intervalli di convergenza.
5) 4/10/2017 (2 ore): Introduzione alla Probabilità, cenni storici. Probabilità classica, frequentista o statistica e soggettiva. Spazio campionario e spazio degli eventi.
6) 5/10/2017 (2 ore): Calcolo combinatorio: permutazioni, permutazioni con ripetizioni, disposizioni, disposizioni con ripetizioni, combinazioni semplici e con ripetizioni. Esercizi.
7) 9/10/2017 (3 ore): Assiomi della Probabilità; spazio campionario, spazio degli eventi, spazio di probabilità. Formalismo insiemistico per la descrizione degli eventi, diagrammi di Venn. Diagrammi ad albero con esempi. Definizione di eventi indipendenti e di probabilità condizionata.
8) 11/10/2017 (2 ore): Formula di Bayes, teorema delle probabilità totali. Esercizi di probabilità, sorteggio da urne con e senza reimbussolamento. Diagrammi ad albeero. Esercizi su probabilità condizionata e formula di Bayes.
9) 12/10/2017 (2 ore): Esercizi su probabilità condizionata e formula di Bayes. Il paradosso dei compleanni.
10) 16/10/2017 (3 ore): Definizione di variabile aleatoria (v.a.), esempi. V.a. discrete finite, numerabili, continue. Funzione di ripartizione e sue proprietà. Funzione densità di probabilità e sue proprietà. Valore atteso e varianza.
11) 18/10/2017 (2 ore): Proprietà di valore atteso e varianza, formula per il calcolo della varianza, esempi su distribuzioni discrete e finite. Processo Bernoulliano, densità di probabilità, funzione di ripartizione, media e varianza.
12) 19/2017 (2 ore): Distribuzione binomiale, esempi, valore atteso e varianza; distribuzione geometrica e geometrica modificata, esempi, valore atteso e varianza. Distribuzione ipergeometrica, esempio. Approssimazione della distribuzione ipergeometrica con la distribuzione binomiale.
13) 23/10/2017 (2 ore) - Lezione tenuta dal Prof. Marco Spadini: Distribuzione binomiale, breve ripasso ed esercizio su overbooking (es. 2.7 Baldi), determinazione di overbooking ottimale (si usa la nozione di speranza mat.). Distribuzione geometrica, esercizio 10.22 Modica-Poggiolini. Commenti: come rendere equo questo gioco? Ancora un uso della speranza matematica. Distribuzione ipergeometrica: Richiami, versione modificata di esempio 5.3.1 Ross Prob/Stat., Esempio 5.3.2 Ross Prob/Stat. Discussione sul valore atteso (Esempio 2g Ross Prob.). Legame tra ipergeometrica e binomiale seguendo Ross Prob/Stat.
14) 25/10/2017 (3 ore): Approssimazione della distribuzione ipergeometrica con la binomiale; distribuzione di Poisson e suo uso come approssimazione della distribuzione binomiale. Esempi. Disuguaglianza di Chebychev.
15) 26/10/2017 (2 ore): V.a. continue e loro distribuzioni: distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale; distribuzione normale e normale standard, media e varianza, proprietà della funzione di ripartizione della normale standard.
16) 30/10/2017 (3 ore): V.a. vettoriali, discrete e continue. Caso bivariato: funzione di ripartizione e sue proprietà, funzione di densità di probabilità e densità marginali. Definizione di covarianza, alcune proprietà della covarianza. Esercizi per l'uso delle tavole della funzione di ripartizione della normale standard.
17) 2/11/2017 (2 ore): Valore di aspettazione e varianza per v.a. bivariate, v.a. indipendenti e loro densità. Teorema di Bernoulli (convergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione normale); legge debole dei grandi numeri; teorema del limite centrale.
18) 6/11/2017 (3 ore): Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO), simbolismo e terminologia. Metodi risolutivi per EDO del I ordine: EDO a variabili separabili, EDO di tipo omogeneo, esempi.
19) 8/11/2017 (2 ore): EDO I ordine lineari: soluzione con il metodo di variazione delle costanti e con il fattore integrante. EDO I ordine esatte.
20) 9/11/2017 (2 ore): Esercizi riepilogativi di Probabilità: Probabilità elementare, formula di Bayes e teorema delle Probabilità totali, v.a. e distribuzioni, v.a. bivariate.
21) 13/11/2017 (3 ore): EDO I ordine di Bernoulli, EDO I ordine esatte ed EDO I ordine da risolvere con il fattore integrante, esempi. Introduzione al Problema ai Valori Iniziali (PVI), esempi al I ed al II ordine. EDO del II ordine formulate come un EDO del I ordine vettoriale a dimensione due.
22) 16/11/2017 (2 ore): Il teorema di Cauchy per il PVI (dimostrazione), iterate di Picard. Le condizioni di Peano per l'esistenza, un esempio. Un esempio di non globalità della soluzione.
23) 20/11/2017 (3 ore): Modelli matematici per EDO del I ordine: modello malthusiano e modello logistico. EDO di II ordine riconducibili al I ordine, il caso di integrazione per quadrature.
24) 22/11/2017 (2 ore): EDO del II (e di ordine n) lineari, esistenza globale ed unicità della soluzione del PVI. Wronskiano ed indipendenza lineare, teorema di Abel.
25) 23/11/2017 (2 ore): Soluzioni fondamentali e soluzione generale per EDO lineari del II ordine (e ordine n generico); le soluzioni fondamentali costituiscono una base dello spazio lineare delle soluzioni. Introduzione all'analisi qualitativa: ritratto di fase, orbite, orbite degeneri (soluzioni di equilbrio), freccia del tempo, esempi (oscillatore armonico e punto sella).
26) 27/11/2017 (3 ore): Richiami sulle EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti, casi delle radici (autovalori) complesse coniugate e reali coincidenti. EDO del II ordine lineari non omogenee, ricerca di una soluzione particolare; richiami sul metodo dei coefficienti indeterminati, metodo di variazione delle costanti. Definizione di stabilità e di asintotica stabilità secondo Liapunov.
27) 29/11/2017 (2 ore): Formulazione vettoriale di EDO e sistemi di EDO, purché in forma normale. Il caso lineare ed il problema agli autovalori ed agli autovettori. Caso degli autovalori reali e distinti, caso degli autovalori complessi coniugati.
28) 30/11/2017 (2 ore): EDO lineari vettoriali, il caso degli autovalori non tutti distinti; la matrice esponenziale e gli autovettori generalizzati. Esercizi per la ricerca di soluzioni nei tre casi.
29) 4/12/2017 (3 ore): Criteri di stabilità: stabilità lineare, stabilità in prima approssimazione, criterio della funzione di Liapunov (con dimostrazione). Esempi.
30) 6/12/2017 (2 ore): Modelli matematici: oscillatore armonico smorzato (debolmente e fortemente), soluzioni ed analisi qualitativa nel piano delle fasi.
31) 7/12/2017 (2 ore): Risonanza lineare, l'oscillatore armonico smorzato con forzante sinusoidale, ampiezza e fase della soluzione asintotica.
32) 11/12/2017 (3 ore): Modelli lineari: Battimenti e risonanza senza smorzamento. Il pendolo non lineare, iintegrazione per quadrature, analisi qualitativa e ritratto di fase.
33) 13/12/2017 (2 ore): Analisi qualitativa e ritratti di fase per EDO del II ordine "conservative" con il metodo dell'energia. Il modello preda-predatore.
34) 14/12/2017 (2 ore): Modello preda-predatore: stabilità della soluzione stazionaria (funzione di Liapunov), media temporale ed effetto pesca. Modello epidemiologico SIR.
35) 18/12/2017 (4 ore): Introduzione alla serie di Fourier, polinomi trigonometrici, funzioni ortonormali reali e complesse, calcolo dei coefficienti. Un esempio. Ritratti di fase di alcune EDO visualizzati con un programma grafico.
36) 20/12/2017 (2 ore): spazi di Hilbert (spazi lineari, normati, completi, unitari); lo spazio L^2 su un intervallo, la migliore approssimazione, la disuguaglianza di Bessel, l'identità di Parseval.
37) 21/12/2017 (2 ore): Serie di Fourier: condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale e la convergenza uniforme, fenomeno di Gibbs. Serie integrale e serie derivata, andamento dei coefficienti all'infinito. Esercizi.