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Programma dettagliato - A.A. 2007-08

 

Avvertenze:

- I riferimenti a capitoli e paragrafi sono relativi al testo: G. Crasta, A. Malusa - Matematica 2. Teoria ed esercizi (Pitagora Ed., 2004). Per gli studenti che hanno seguito il corso da 5 crediti (a.a. 2005-06 e precedenti), fare riferimento al programma svolto l'anno accademico 2005-2006.

- Quando non diversamente specificato l'indicazione di un paragrafo sottintende tutti i sottoparagrafi di cui esso è costituito.

- Si raccomanda agli studenti di svolgere gli esercizi posti alla fine di ogni paragrafo.

 

CALCOLO INFINITESIMALE PER LE CURVE

Definizioni: curve nel piano e nello spazio: sostegno della curva e orientamento indotto dalla parametrizzazione, curve equivalenti, vettore tangente, curve regolari, curve regolari a tratti. Lunghezza di un arco di curva e parametro arco.

Cap. 1 Par. 1.1, 1.2.
 

FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI

Definizioni topologiche fondamentali: intorno sferico, insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi, punti interni, di frontiera, isolati, di accumulazione. Dominio di una funzione di più variabili e sua rappresentazione nel piano nel caso di funzioni di due variabili, grafico, curve di livello.
Limiti e continuità: definizione di limite, esempi di calcolo di limiti, analisi delle forme di indeterminazione. Definizione di continuità e suo studio.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori reali: derivate parziali e loro interpretazione geometrica, differenze con il caso unidimensionale; la nozione di differenziabilità, piano tangente al grafico, approssimazione lineare, condizione sufficiente affinché una funzione sia differenziabile. Gradiente, derivate direzionali e formula del gradiente, direzioni di massima e minima crescita, ortogonalità del gradiente alle linee di livello, calcolo delle derivate, derivazione delle funzioni composte. Derivate successive e teorema di Schwartz.

Cap.2 Par.2.1, 2.2, 2.3, 2.4.

PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE

Estremi assoluti, teorema di Weierstrass, estremi relativi. Estremi liberi nel piano: teorema di Fermat e ricerca dei punti critici. Definizione di matrice hessiana. Studio della natura dei punti critici per una funzione di due variabili mediante l'analisi della matrice hessiana nel caso bidimensionale; caso a dimensione maggiore di due. Estremi vincolati: caso di frontiera in forma parametrica e in forma implicita, teorema della funzione implicita, metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Cap.3 Par.3.1, 3.2 (no Osservazione 3.13, Teorema 3.14, Osservazione 3.15, Teorema 3.16; solo enunciato del Teorema 3.17), 3.3, 3.4, 3.5, 3.6.


INTEGRAZIONE MULTIPLA

Integrali doppi: definizione, domini normali rispetto all'asse x o rispetto all'asse y. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli: integrazione per fili e per strati, cambiamenti di variabili negli integrali tripli. Applicazioni fisiche e geometriche dell'integrale multiplo: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro e dei momenti di inerzia. Simmetrie ed integrali multipli.

Cap.5 Par. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7

 

INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE

Definizione di integrale di linea di prima specie di una funzione di due o più variabili lungo un arco di curva regolare, principali proprietà e invarianza per cambiamenti di parametrizzazione della curva. Applicazioni fisiche e geometriche dell'integrale di linea: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia di una linea materiale.

Cap. 6 Par. 6.1.
 

CAMPI VETTORIALI

Definizione di campo vettoriale ed esempi. Lavoro di un campo vettoriale (integrale di linea di seconda specie). Campi vettoriali conservativi e potenziali: definizione, teoremi principali, condizione necessaria affinché un campo sia conservativo, esempi. Definizione di insieme semplicemente connesso e condizione sufficiente affinché un campo sia conservativo. Formula di Gauss-Green e applicazioni.

Cap.6 Par. 6.2, 6.3, 6.4.

 

SUPERFICI E INTEGRALI SUPERFICIALI

Superficie regolare parametrica. Area di una superficie, superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo attraverso una superficie. Divergenza di un campo, teoremi di Gauss e di Stokes.

Cap.7 Par.7.1, 7.2, 7.3, 7.4.

 
ultimo aggiornamento: 19-Feb-2009
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