Programma dettagliato - A.A. 2005-06
Avvertenze:
- I riferimenti a capitoli e paragrafi sono relativi al testo: Bramanti, Pagani, Salsa - Matematica (Zanichelli) - Seconda Edizione. Rispetto all'edizione precedente è cambiata la numerazione di alcuni capitoli e/o paragrafi, nonché alcuni contenuti. Gli studenti che hanno l'edizione precedente si riferiscano agli appunti presi a lezione o al programma svolto l'anno accademico 2003-2004.
- Quando non diversamente specificato l'indicazione di un paragrafo sottintende tutti i sottoparagrafi di cui esso è costituito.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalità sulle equazioni differenziali di ordine n: definizione di soluzione e suo dominio, integrale generale, problema di Cauchy.
Equazioni del primo ordine a variabili separabili e loro risoluzione; equazioni riconducibili a quelle a variabili separabili.
Proprietà delle equazioni lineari di ordine n, omogenee e complete: spazio delle soluzioni e integrale generale della completa.
Equazioni lineari del primo ordine: integrale generale e problema di Cauchy.
Equazioni lineari di ordine n>=2 a coefficienti costanti: integrale generale della omogenea mediante la determinazione delle radici dell'equazione caratteristica e determinazione di una soluzione particolare della completa mediante il metodo di somiglianza.
Cap.7 Par.1, 2, 3, 4 (escluso il metodo di variazione delle costanti.) Il par. 3 e` stato visto come caso particolare del par.4 (riferirsi agli appunti).
CALCOLO INFINITESIMALE PER LE CURVE
Generalità sulle funzioni reali di più variabili, funzioni di variabile reale a valori vettoriali, funzioni di più variabili a valori vettoriali. Esempi.
Curve nel piano e nello spazio: sostegno della curva e orientamento indotto dalla parametrizzazione, curve equivalenti. Limiti e continuità. Arco di curva continua, regolare. Lunghezza di un arco di curva e significato della lunghezza d'arco elementare ds.
Cap. 9 Par. 1, 2, 3 (escluso coniche in forma polare), 4 (escluso parametro arco).
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Dominio di una funzione di più variabili e sua rappresentazione nel piano nel caso di funzioni di due variabili.
Definizioni topologiche fondamentali: intorno sferico, frontiera di un insieme, insiemi aperti, chiusi, connessi.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili: definizione di limite, esempi di calcolo di limiti, analisi delle forme di indeterminazione. Definizione di continuità e suo studio. Proprietà delle funzioni continue: teorema di Weierstrass e dei valori intermedi.
Cap.10 Par.1, 2,3.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori reali: derivate parziali e loro interpretazione geometrica, differenze con il caso unidimensionale; la nozione di differenziabilità, piano tangente al grafico, approssimazione lineare, condizione sufficiente (f di classe C1 in un aperto) affinché una funzione sia differenziabile. Gradiente, derivate direzionali e formula del gradiente, direzioni di massima e minima crescita, ortogonalità del gradiente alle linee di livello, calcolo delle derivate, derivazione delle funzioni composte. Derivate successive e teorema di Schwartz.
Cap.10 Par.4 (Par.4.3 solo cenni - Importante il Teo.4.3), Par 5.1.
Estremi liberi: definizione di punto di minimo locale, massimo locale, minimo assoluto, massimo assoluto, punto di sella. Teorema di Fermat e ricerca dei punti critici. Definizione di matrice hessiana. Studio della natura dei punti critici per una funzione di due variabili mediante l'analisi della matrice hessiana nel caso bidimensionale; cenni al caso a dimensione maggiore di due. Estremi vincolati: caso di frontiera in forma parametrica e in forma implicita; metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Cap.10 Par.6.1 fino all'esempio 6.1 compreso, Par.6.3 dal Teo.6.8 (la matrice hessiana è definita in fondo a pag.440), Par.8.1, 8.2.
INTEGRALI DI LINEA DI PRIMA SPECIE
Definizione di integrale di linea di prima specie di una funzione di due o più variabili lungo un arco di curva regolare, principali proprietà e invarianza per cambiamenti di parametrizzazione della curva. Applicazioni fisiche e geometriche dell'integrale di linea: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia di una linea materiale.
Cap.9 Par.5.
INTEGRAZIONE MULTIPLA IN R²
Definizione di insieme semplice rispetto alla verticale o semplice rispetto all'orizzontale, di insieme regolare. Definizione di integrale doppio di una funzione continua di due variabili su di un insieme x-semplice o y-semplice e formula risolutiva mediante integrali iterati. Interpretazione geometrica dell'integrale iterato. Principali proprietà degli integrali doppi. Applicazioni fisiche e geometriche dell'integrale multiplo: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia di una lamina materiale. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi: definizione di cambiamento di variabili regolare, matrice jacobiana ed interpretazione geometrica del determinante di tale matrice, formula del cambiamento di variabili in un integrale doppio.
Cap.12 Par.1.1, 1.2
CAMPI VETTORIALI
Definizione di campo vettoriale ed esempi. Campi vettoriali conservativi e potenziali: definizione, condizione necessaria affinché un campo sia conservativo, esempi. Definizione di insieme semplicemente connesso e condizione sufficiente affinché un campo sia conservativo. Operatori differenziali: definizione di rotore e divergenza e identità differenziali.
Integrale di linea di un campo vettoriale (integrali di linea di seconda specie): definizione di lavoro di un campo lungo una curva orientata assegnata e proprietà. Lavoro di un campo conservativo: dipendenza dai soli punti estremi della curva, lavoro come differenza di potenziale tra il punto finale ed il punto iniziale. Esempi ed applicazioni.
Cap.11 Par.5 (escluso 5.1, 5.5 e 5.8).
LA FORMULA DI GAUSS-GREEN NEL PIANO
Teorema di Gauss-Green e applicazioni: riduzione di un integrale di linea ad un integrale doppio e viceversa. Calcolo di aree di domini piani mediante riduzione dell'integrale doppio ad un integrale di linea; esempio del calcolo dell'area dell'interno di una ellisse.
Cap.12 Par.1.3.