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Gruppo di ricerca in Metodi Matematici per l'Ingegneria dell'Informazione

Informazioni generali

APPLICAZIONI di MATEMATICA (IEL+IDT)

Il corso vale 6 CFU e si tiene nel primo periodo didattico

Obiettivi del corso

Approfondire la preparazione matematica su alcuni aspetti delle funzioni di variabile complessa, in vista delle applicazioni nell'ambito dei corsi di secondo livello.

Prerequisiti necessari

Aver superato i moduli di Geometria e Algebra lineare, e Metodi Matematici

Programma dettagliato

1) RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI
Forma algebrica, forma trigonometrica, forma esponenziale. Leggi di De Moivre. Equazioni algebriche e radici. L'esponenziale in campo complesso e proprietà. Le funzioni trigonometriche e le formule di Eulero. Il logaritmo in campo complesso. Risolubilità di equazioni esponenziali

2) FUNZIONI COMPLESSE
Funzioni complesse come trasformazioni piane. Continuità e derivabilità. Formule di Cauchy-Riemann. Funzioni analitiche e funzioni armoniche. Ricostruzione di funzioni analitiche. Teorema dell'unicità dell'estensione analitica. Integrale in campo complesso. Teorema di Cauchy e conseguenze. Sviluppabilità in serie di potenze di funzioni analitiche. Alcuni sviluppi notevoli [esponenziale, seno, coseno, (1-s)^(-1)]. Serie di Laurent. Classificazione delle singolarità. Singolarità eliminabili, polari, essenziali e loro caratterizzazione. Il Teorema di Casorati. Zeri di funzioni analitiche. Funzioni analitiche e limitate: i teoremi di Liouville e di D'Alembert. Il concetto di Residuo al finito. Primo teorema dei Residui e calcolo di Residui. Serie di Laurent all'infinito. Residuo all'infinito e Secondo Teorema dei Residui. Calcolo di integrali in campo complesso.

3) TRASFORMATA ZETA E APPLICAZIONI
Richiami sulle serie di potenze. Campionamento di segnali. Raggio di convergenza. Trasformata Zeta. Trasformate di campionamenti elementari. Le proprietà dello smorzamento, della "moltiplicazione per n", della traslazione. La convoluzione discreta. Antitrasformata Zeta e calcolo nel caso razionale. Le proprieta' del valore iniziale e finale. L'approccio ricorsivo. La trasformata Zeta nella risoluzione di equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. Cenno sulla trasformata Zeta nell'analisi di sistemi tempo-discreti e nella trasmissione di segnali.  

4) TRASFORMATA DI LAPLACE e FUNZIONI DI TRASFERIMENTO
Sistemi fisici e modelli matematici: esempi. Le funzioni di trasferimento e funzioni di rete. Funzioni di classe lambda e ascissa di convergenza. La trasformata di Laplace. Proprietà della derivazione e integrazione. La trasformata di Laplace nell'analisi e sintesi di reti elettriche passive.

5) FUNZIONI R.P.
Richiami sull'algebra dei polinomi. Test di Routh-Hurwitz. Funzioni reali positive razionali. Proprietà. Il test "delle 4 condizioni" e il criterio di Talbot. Il caso dispari. Circuiti RCL passivi in serie e in parallello. Impedenza e ammettenza complesse: esempi di sintesi.

 

Testi consigliati

0) Appunti delle lezioni.
1) M. Marini "Metodi Matematici per lo studio delle reti elettriche" Ed. Cedam, 1999.
2) G.C. Barozzi "Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione", Ed. Zanichelli 2001.
3) M. Bramanti, "Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria", Ed. Esculapio, 2017.
4) L. Amerio "Analisi Matematica: Metodi Matematici e Applicazioni", Vol.3- Parte I e II, Ed. UTET, 1992.
5) M. Giaquinta, G. Modica "Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica", Edizioni Pitagora, 2005.
6) M. Codegone "Metodi Matematici per l'Ingegneria", Ed. Zanichelli, 1995.
7) M.Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa "Analisi Matematica", Zanichelli.

 

Altro materiale di supporto

Le tracce delle lezioni e gli esercizi sono dispobili in questo sito.

Modalità didattiche

Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove intermedie.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Per coloro che non hanno sostenuto (o superato) i test intermedi, l'esame finale consiste in una prova scritta. La prova orale è facoltativa.

Short program (English)

Review of fundamental concepts on complex numbers.

Complex functions: 
properties  ,the Cauchy-Riemann formulas, integrals, the Cauchy integral formulas, Taylor series, singularities, Laurent series, Residues and applications, analitic properties (The Weierstrass theorem, the Liouville theorem, the D'Alembert theorem).

Transfert functions:
Laplace transform and main properties, Real Positive functions and properties, the rational case, positivity criteria, the Routh-Hurwitz test, applications to analysis and synthesis of passive RLC networks.

Zeta transform:
review of fundamental concepts of power series, Z-transform of elementary sequences, properties, the discrete convolution, inversion formulas, applications to signal processing.

 
ultimo aggiornamento: 25-Set-2009
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