Informazioni generali

ANALISI MATEMATICA III (ELM, TEM, MAS) 

Il corso vale 6 CFU e si tiene nel secondo periodo didattico

Approfondire la preparazione su alcuni aspetti dell'analisi matematica e dell'analisi funzionale

Prerequisiti necessari

Padronanza dei tradizionali argomenti dei corsi di Analisi Matematica di base, del corso di Metodi Matematici e della teoria delle funzioni di variabile complessa (si veda il corso di Applicazioni di Matematica della laurea triennale).

Programma dettagliato

1) COMPLEMENTI SULLA TRASFORMATA DI FOURIER.

Il concetto di norma. Spazi metrici e normati. Esempi: gli spazi L1 e L2 . La trasformata di Fourier in L1. Richiami sulle principali proprieta' (smorzamento, traslazione, omotetia, moltiplicazione, derivazione). Il concetto di valore principale e suo ruolo nella antitrasformata. Convergenza a zero della trasformata e applicazioni alla trasmissione di segnali. Il teorema di Plancherel. Estensione della trasformata allo spazio L2 . Analogie e differenze con la trasformata in L1. La proprietà di simmetria, conseguenze e applicazioni.

2) FUNZIONI DI TRASFERIMENTO E ANTITRASFORMATE

La trasformata di Laplace nell'analisi e sintesi di sistemi tempo-invarianti. Relazione con la trasformata di Fourier. Il prodotto di convoluzione. Funzioni di trasferimento e funzioni razionali. Il lemma di Jordan. Le formule di inversione di Riemann-Fourier e di Bromwich-Mellin. Calcolo dell'antitrasformata di Fourier e di Laplace nel caso razionale mediante la teoria dei residui.

3) APPLICAZIONI ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Richiami sulle proprietà delle soluzioni di equazioni differenziali lineari. Esempi di studio qualitativo: l'equazione monodimensionale di Schroedinger. Il problema delle dinamiche oscillatorie. I teoremi di Sturm e di Leigthon. L'equazione differenziale di Bessel. Le funzioni di Bessel di prima e di seconda specie. La funzione Gamma Euleriana e sue proprieta'. Formule di ricorrenza.

4) DISTRIBUZIONI

Introduzione euristica alla "funzione" delta. Le distribuzioni come funzionali lineari e continui. Proprietà della distribuzione delta Prodotto di distribuzioni. Derivata nel senso delle distribuzioni. Funzioni a decrescenza rapida. Distribuzioni temperate. La trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni. Trasformate di Fourier delle funzioni a crescita lenta. Cenno sulla distribuzione v.p. (1/t). Trasformate di Laplace di distribuzioni. Il caso razionale. Il teorema della derivazione nel senso delle distribuzioni per la trasformata di Laplace. Cenno sul concetto di convergenza nello spazio delle distribuzioni

Testi consigliati e complementari

0) Appunti delle lezioni.
1) M. Marini "Metodi Matematici per lo studio delle reti elettriche", Ed. Cedam, 1999.
2) G.C. Barozzi "Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione", Ed. Zanichelli 2001.
3) A.N.Kolmogorov-S.V.Fomin "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi reale", Ed. Mir ,1980.
4) L.Amerio "Analisi Matematica: Metodi Matematici e Applicazioni" , Vol.3-II, Ed. UTET, 1992.
5) G. Gilardi " Analisi tre", Mc Graw-Hill, 1995
6) M. Codegone "Metodi Matematici per l'Ingegneria", Ed. Zanichelli, 1995.

Altro materiale di supporto

Durante lo svolgimento delle lezioni vengono distribuiti esercizi di verifica e materiale accessorio. Le tracce delle lezioni saranno inserite in rete in questo sito

Modalità didattiche

La prova finale e' composta da una prova scritta e una orale. La prova orale consiste in una discussione sulla prova scritta e un colloquio su un argomento del corso, scelto dallo studente.

Nel periodo di svolgimento del corso vengono effettuate prove intermedie di verifica, che possono esonerare dalla prova finale

Short program (English)

METRIC and HILBERT SPACES

Distance, norm, inner product. Orthonormal basis. The Riesz-Fischer theorem and consequences. The spaces L^1, L^2. The Fourier transform. The Plancherel theorem and properties. of the Fourier transform on L^1 and L^2. The inversion formula. Applications to the signal processing.

TRANFERT FUNCTIONS.

The convolution. The rational case. The complex inversion formula for the Laplace and Fourier transform. Application to the network analysis.

DISTRIBUTIONS:

The space of distributions. Regular distributions. The delta distribution and properties. Operations with distributions. The derivability. Fourier and Laplace tranform of distributions.

BESSEL FUNCTIONS:

Bessel differential equation. The Gamma function. Bessel functions of first and second kind. Properties. Recurrence formulas. Series of Bessel functions.