Informazioni generali
Programma previsto
I Modulo (6 CFU) - Docente: Prof.ssa Maria Gabriella Paoli
I NUMERI
Insiemi. Unione, intersezione, differenza complementare, prodotto cartesiano, inclusione. Sommatorie. Proprietà formali delle sommatorie. Somma di una progressione geometrica. Numeri naturali. Fattoriale di n e coefficienti binomiali. Binomio di Newton. Numeri razionali. Numeri reali. Valore assoluto. Maggioranti e minoranti di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo di un insieme. Potenze e Radicali. Esponenziali e Logaritmi.
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
Definizione di successione. Concetto di limite. Unicità del limite. Proprietà dei limiti. Successioni limitate inferiormente e/o superiormente. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Forme indeterminate. Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno. Successioni monotone e loro proprietà. Il numero di Nepero. Stime asintotiche. Definizione di serie. Somma di una serie. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e la serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza. Criteri di convergenza: del confronto, del rapporto e della radice. Criterio del confronto asintotico. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno.
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio, grafico. Funzioni limitate, funzioni monotone. Limiti. Limite destro e limite sinistro. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Composizione di funzioni. Funzioni composte, funzioni inverse. Funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Funzioni trigonometriche inverse e funzioni iperboliche inverse. Funzioni continue. Proprietà delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weirstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Limiti notevoli. Stime asintotiche.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Derivate. Significato geometrico della derivata: retta tangente al grafico di una funzione. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Continuità e derivabilità. Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Massimi, minimi e flessi. Convessità e concavità. Teorema di Fermat e Teorema di Rolle. Il teorema di de l'Hopital. Studio del grafico di una funzione.
CALCOLO DIFFERENZIALE ED APPROSSIMAZIONE
Differenziale ed approssimazione lineare. Il simbolo "o piccolo". Formula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Resto secondo Peano e secondo Lagrange. Applicazioni della formula di Taylor e di Mac Laurin.
CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Somme di Cauchy-Riemann. L'integrale come limite di somme di Cauchy-Riemann. Proprietà dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Il teorema del valor medio per il calcolo integrale. Primitive. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva. Calcolo degli integrali indefiniti e definiti. Integrazione per scomposizione, per parti, per sostituzione. Funzioni integrabili. Integrali generalizzati. Integrazione di funzioni non limitate. Integrazione su intervalli non limitati. Criteri di integrabilità. La funzione integrale.
II Modulo (6 CFU) - Docente: Prof.ssa Serena Matucci
INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalità: soluzione, integrale generale, problema di Cauchy, problemi asintotici. Esempi di equazioni del primo ordine: equazioni lineari, equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea e della completa, problema di Cauchy, problemi ai limiti.
Limiti e continuità per funzioni reali di due o più variabili. Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente. Il differenziale di una funzione. Funzioni differenziabili e teorema del differenziale totale. Derivata di una funzione composta. Derivate successive e teorema di Schwartz. La matrice hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Punti critici liberi e studio della loro natura locale mediante l'analisi della forma quadratica associata alla matrice hessiana. Punti critici vincolati: parametrizzazione del vincolo e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli. Cambiamenti di variabili.
FUNZIONI VETTORIALI - CURVE E SUPERFICI - INTEGRAZIONE SU CURVE E SUPERFICI - CAMPI VETTORIALI, LAVORO E FLUSSO
Curve in forma parametrica. Curve regolari e generalmente regolari. Retta tangente ad una curva. Lunghezza di una curva regolare. Integrali curvilinei di campi scalari. Baricentro e momenti di inerzia di una curva. Superfici in forma parametrica. Superfici regolari e generalmente regolari. Versore normale, piano tangente. Orientazione di una superficie. Integrali di superficie di campi scalari. Area, coordinate del baricentro e momenti di inerzia di una superficie. Generalità sui campi vettoriali; rotore e divergenza di un campo. Lavoro di un campo lungo una curva. Campi conservativi: funzione potenziale e sua determinazione, relazione con il concetto di lavoro del campo. Integrali superficiali di campi vettoriali: integrali di flusso. Teorema della divergenza e teorema del rotore.
Prove intercorso
Saranno effettuate quattro prove intercorso (due relative al primo modulo e due relative al secondo). Gli studenti che ottengono una media sufficiente potranno concludere l'esame con una prova scritta sulla teoria. Gli studenti che
Per la partecipazione alle prove intercorso è obbligatoria l'iscrizione online.
Prove d'esame
La prova di esame consiste in una prova scritta su ognuno dei due moduli e in una prova orale. Possono partecipare alle prove solo gli studenti in regola con l'assolvimento degli obblighi formativi aggiuntivi. È obbligatoria l'iscrizione online alle prove.
L'esame è composto da una prova scritta, divisa in due parti (Analisi 1 e Analisi 2), che potranno essere sostenute anche in appelli diversi, e da una prova orale, alla quale si potrà accedere ottenendo la sufficienza nei compiti scritti. L'orale dovrà essere sostenuto di norma entro l'appello successivo all'interno dalla stessa sessione.