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Gruppo di ricerca in Metodi Matematici per l'Ingegneria dell'Informazione

Informazioni generali e Programma del corso

 

Obiettivi del corso

Approfondire la preparazione su alcuni aspetti dell'analisi matematica e introdurre le nozioni di base della teoria della probabilità.

Prerequisiti necessari

Padronanza dei tradizionali argomenti dei corsi di Analisi Matematica di base.

Programma dettagliato di Metodi Matematici

Si riporta il programma previsto, corrispondente al programma svolto nel precedente anno accademico. Eventuali midifiche saranno inserite a fine corso. Si rimanda in particolare al registro delle lezioni, che viene aggiornato in tempo reale.

1 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO)
Definizioni e terminologia; la forma normale; l'equazione del primo ordine y'(x)=f(x,y(x)) per funzioni y(x) definite su R ed a valori in Rn come forma generale rappresentativa di EDO di ordine n e di sistemi di n EDO del primo ordine; il problema di Cauchy o ai valori iniziali (PVI); il teorema di esistenza ed unicità (TEU) per il PVI: caso di equazioni del primo ordine per funzioni scalari (da R in R) e caso generale (senza dimostrazione); conseguenze del TEU per i sistemi lineari.
EDO del I ordine: metodi risolutivi per le equazioni scalari del I ordine: a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni lineari complete, equazioni del tipo di Bernoulli, equazioni esatte e fattori integranti.
EDO del II ordine: metodi risolutivi per le equazioni riconducibili ad equazioni del I ordine; equazioni integrabili per quadrature; equazioni lineari a coefficienti costanti, caso omogeneo e non omogeneo: il metodo dei coefficienti indeterminati ed il metodo di variazione delle "costanti".
Equazioni lineari in forma generale: ricerca delle soluzioni generali. Spazi lineari di funzioni: lo spazio generato dalle soluzioni di EDO lineari omogenee.
Interpretazione geometrica ed analisi qualitativa per le EDO del II ordine e per i sistemi del I ordine di dimensione 2: il piano delle fasi.
Stabilità delle soluzioni rispetto alle condizioni iniziali:
definizione di stabilità secondo Liapunov: stabilità delle soluzioni di equilibrio e stabilità delle soluzioni evolutive; stabilità asintotica; proprietà di stabilità per equazioni e sistemi lineari; analisi dettagliata dei sistemi a dimensione 2: definizione di centro, punto sella; fuoco (spirale); nodo;
caso di equazioni e sistemi non lineari: criterio di stabilità in prima approssimazione; II Criterio di Liapunov per la stabilità, per la stabilità asintotica e per l'instabilità. Analisi qualitativa con il metodo dell'energia.
Modelli meccanici ed in teoria dei circuiti che vengono formulati come EDO: l'oscillatore armonico, l'oscillatore armonico smorzato e forzato e la risonanza lineare, il pendolo non lineare.
Modelli in dinamica delle popolazioni: il modello malthusiano, il modello logistico, il modello preda-predatore

2 - SERIE DI FOURIER (SF)

Spazi di funzioni dotati di prodotto interno (spazi unitari). Norma di una funzione.
Disuguaglianza di Schwartz, disuguaglianza di Minkowski (triangolare), disuguaglianza di Bessel.
Spazio delle funzioni continue a tratti su un intervallo. Polinomi trigonometrici e polinomi di Fourier; base ortonormale approssimante reale e complessa. Serie di Fourier reale e complessa, calcolo dei coefficienti; SF di funzioni periodiche e di funzioni definite su un intervallo qualunque; convergenza in norma (media quadratica); l'uguaglianza di Parseval; le condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale della SF; convergenza della serie derivata e della serie integrale; funzioni pari e dispari e loro SF; fenomeno di Gibbs e convergenza uniforme della SF. Applicazioni:  l'equazione della diffusione e l'equazione delle onde (unidimensionali) e risoluzione di problemi al contorno ed ai valori iniziali.

Testi consigliati e complementari 

  1. G. Borgioli - Appunti ed Esercizi reperibili a questa pagina
  2. M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa - Matematica - Zanichelli
  3. G.C.Barozzi - Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione - Zanichelli
  4. M.Marini - Metodi Matematici per lo studio delle Reti Elettriche - CEDAM
  5. G. Borgioli - Modelli Matematici di Evoluzione ed Equazioni Differenziali - CELID
  6. W. E. Boyce, R. C. DiPrima - Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems - John Wiley & Sons, Inc.

Per il programma dettagliato di Metodi Probabilistici, si veda la pagina web http://www.dma.unifi.it/~poggiolini/didattica/2011-12-metodi_prob.php

Modalità didattiche

Prova scritta e prova orale. Per sostenere la prova scritta è richiesta l'iscrizione all'esame sul sito web dei servizi agli studenti.

Norme per l'esame:

Le prova scritta comprende sia esercizi su argomenti svolti nella parte di Metodi Matematici che in quella di Probabilità.. La validità di ogni prova scritta decade con la fine della sessione.
Gli studenti che ricevono un valutazione sufficiente devono poi completare l'esame sostenendo la prova orale nel periodo di un qualunque appello nell'ambito della stessa sessione (3 appelli nella sessione invernale, 4 appelli nella sessione estiva).
L'esame si riferisce ad un unico corso di 9 CFU e pertanto deve essere completato all'interno di una stessa sessione, sia per la parte di Metodi Matematici che per quella di Probabilità.

Alla prova scritta si possono portare e consultare libri, dispense, appunti e tavole di integrali e funzioni.
Prove orali:

Gli argomenti dell'orale verteranno sull'intero programma di Metodi. La prova orale sarà fissata in giorni che concorderemo, in qualunque periodo della sessione non necessariamente vicino alla data della prova scritta.

Il calendario delle prove orali sarà fissato nella seduta della correzione della prova scritta, la cui data sarà comunicata il giorno della prova stessa.

 

 
ultimo aggiornamento: 28-Dic-2009
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