Registro delle lezioni a.a 2010/11

AVVERTENZA: Per la parte di Metodi Probabilistici (Prof. Matucci) le indicazioni di capitoli e paragrafi si riferiscono al testo: P. Baldi, "Introduzione alla probabilità con elementi di statistica", McGraw-Hill (2003).

12/10/10 - Prof. Borgioli - 2 ore

Introduzione al corso. Presentazione del programma e delle modalità di esame.

13/10/10 - Prof. Matucci - 3 ore

Fenomeni deterministici ed aleatori. Spazi di probabilità: definizione di spazio campionario, eventi, σ-algebra, probabilità; proprietà elementari di una probabilità. Probabilità uniforme su uno spazio di cardinalità finita. Esempi. Probabilità condizionale. [Cap.2 Par.2.1, 2.2 e 2.3 fino pag.29.] 

19/10/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Equazioni differenziali: simbolismo, terminologia, definizioni e prime proprietà.

20/10/2010 -Prof. Matucci - 3 ore

Formula delle probabilità totali, formula di Bayes, eventi indipendenti. Esercizi sui concetti introdotti. Esempi di applicazione al calcolo dell'affidabilitàdi sistemi. Calcolo combinatorio: permutazioni e disposizioni. [Cap.2 Par.2.3 e 2.4 - vedere anche gli appunti schematici di calcolo combinatorio] 

21/10/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Equazioni differenziali ordinarie del I ordine: metodi risolutivi per le equazioni a variabili separabili, per le equazioni di tipo omogeneo e per le equazioni lineari. Esercizi.

26/10/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Metodi risolutivi per EDO del I ordine del tipo di Bernoulli e del tipo esatto. Fattori di integrazione. Esercizi

Combinazioni semplici e combinazioni con ripetizioni. Esempi di uso del calcolo combinatorio per eventi in spazi con probabilità uniforme. Variabili aleatorie: definizione e proprietà generali. Variabili aleatorie discrete: funzione di densità discreta di probabilità (distribuzione discreta di probabilità) e funzione di ripartizione di una v.a. e loro legame. Distribuzioni di Bernoulli e distribuzioni binomiali. [Cap.3 Par.3.1 e 3.2 fino pag.42] 

28/10/2010 - Prof. Matucci - 2 ore

Distribuzione ipergeometrica e confronto con la distribuzione binomiale. Distribuzione geometrica e proprietà di mancanza di memoria. Esempi ed esercizi. [Cap.3 Par.3.2 fino pag.47] 

2/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Teorema di Cauchy per il PVI y'(x)=f(x,y(x)) ; y(x_0)=y_0. Dimostrazione con le iterate di Picard. Modelli matematici: il modello Malthusiano e la crescita esponenziale.

Distribuzione di Poisson come limite di una distribuzione binomiale. Variabili aleatorie discrete multidimensionali: definizione, densità di probabilità congiunta e densità marginali. Esempi di v.a. multidimensionali: la distribuzione multinomiale. Variabili aleatorie indipendenti e legame tra la densità congiunta e le marginali. Densità condizionale. Funzioni di variabili aleatorie discrete: definizione e calcolo di densità. Esempi di calcolo di densità: somma di v.a. indipendenti di Bernoulli, somma di v.a. indipendenti binomiali, somma di v.a. indipendenti con legge di Poisson. [Cap.3 Par.3.2, 3.3 e 3.4] 

04/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Modelli matematici: il modello logistico, soluzione del PVI ed analisi qualitativa. Un esercizio: dx/dt=kx^2 , x(0)=x_0. EDO del II ordine: i casi riducibili al I ordine, y"=f(y';x); y"=f(y',y); y"=f(y). La forma "vettoriale" delle EDO del II ordine.

09/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

EDO II ordine lineari: formulazione astratta negli spazi lineari di funzioni. Soluzione generale e soluzione particolare. Teorema di Cauchy per il PVI. Determinante Wronskiano e Teorema di Abel.

Valore atteso (o media o speranza matematica) di una v.a. discreta unidimensionale. Valore atteso di funzioni di v.a.. Principali proprietà: valore atteso di una combinazione lineare, di un prodotto di v.a. indipendenti, proprietà di monotonia. Esempi: valore atteso di una v.a. con distribuzione di tipo Bernoulli, binomiale, Poisson, ipergeometrica, geometrica. Momenti e momenti centrati di ordine k. Varianza: definizione e principali proprietà (varianza di una combinazione lineare). Deviazione standard, covarianza e coefficiente di correlazione. Esempi: varianza di una v.a. con distribuzione di tipo Bernoulli, binomiale, Poisson, ipergeometrica, geometrica. Esempio di applicazione allo studio di investimenti finanziari. [Cap.3 Par.3.5 e 3.6 escluso disuguaglianza di Chebyshev]

11/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Dipendenza ed indipendenza lineare di 2, ..., n funzioni definite su un dominio comune. Il determinante Wronskiano non nullo implica l'indipendenza lineare; la dipendenza lineare implica il determinante Wronskiano nullo. Condizione necessaria e sufficiente perché due soluzioni y_1 e y_2 dell'equazione y"+p(x)y'+q(x)y=0  (p(x), q(x) funzioni continue su un intervallo reale) siano linearmente indipendenti è che W[y_1,y_2] sia diverso da zero in qualche punto dell'intervallo. Formule risolutive per le EDO lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti.

16/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Relazioni fra il Wronskiano di n funzioni e la loro indipendenza lineare. Soluzioni di un'EDO lineare di ordine n. Spazio vettoriale delle soluzioni. Equivalenza fra EDO lineari di ordine n e sistemi di ordine n di EDO lineari del primo ordine. EDO  del II ordine lineari non omogenee. Risoluzione con il metodo dei coefficienti indeterminati; primi esempi: i polinomi e le funzioni esponenziali. Esercizi.

17/11/2010 - Prof. Matucci - 3 ore

Disuguaglianza di Chebyshev. Convergenza in probabilità e legge dei grandi numeri. Esempi ed esercizi riepilogativi sulle v.a. discrete. [Cap.3 pag.66 e Par.3.7 - qui potete trovare le risposte all'esercizio lasciato da svolgere]

18/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

EDO lineari del II ordine non omogenee: ricerca della soluzione particolare con il metodo dei coefficienti indeterminati (funzioni armoniche e prodotti di polinomi, esponenziali e funzioni armoniche); i casi in cui la soluzione particolare è anche soluzione dell'EDO omogenea associata. Cenni al problema per EDO lineari non omogenee di ordine n. Metodo di variazione delle costanti. Modelli matematici: l'oscillatore armonico (soluzione del PVI).

24/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Modelli matematici: l'oscillatore armonico, soluzione del PVI con il metodo per quadrature. Introduzione al concetto di stabilità delle soluzioni e all'analisi qualitativa. Orbite e ritratto di fase. Analisi qualitativa dell'oscillatore armonico.

25/11/2010 - Prof. Borgioli - 2 ore

Modelli matematici: l'EDO lineare del II ordine della sella, soluzione del PVI. Analisi qualitativa e ritratto di fase. Oscillatore armonico smorzato: il modello ed il caso debolmente smorzato.

01/12/2010 - Prof. Matucci - 3 ore

Variabili aleatorie continue: funzione di ripartizione, densità di probabilità e loro proprietà. Esempi: distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale e proprietà di mancanza di memoria. Quantile di ordine α. Funzioni di v.a. continue; esempi di calcolo di densità per le v.a. X² e aX+b, nota la densità di X. V.a. indipendenti. V.a. congiunte, funzione di ripartizione e densità congiunta, densità marginali e loro legame. Massimo e minimo di due v.a indipendenti; caso esponenziale. [Cap.4 Par.4.1 e 4.2]

15/12/2010 - Prof. Matucci - 3 ore

Media, momenti di ordine k, varianza di una v.a. continua proprietà; covarianza e coefficiente di correlazione di due v.a. continue. Media e varianza di una distribuzione uniforme. Leggi normali (gaussiane). Somma di v.a. con densità normale. Funzione di ripartizione di una v.a. con densità normale standard e uso delle tavole. Proprietà di simmetria della densità normale standard. Media e varianza di una v.a. con densità normale. Funzione gamma euleriana: definizione e principali proprietà. Leggi gamma. Somma di v.a. continue indipendenti di legge gamma. Legame con densità esponenziale. Media e varianza nel caso di leggi gamma e di leggi esponenziali. Uso della legge esponenziale e delle leggi gamma per modellare i tempi di attesa.  [Cap.4 Par.4.3, 4.4 e 4.6]