Lezioni a.a. 2017/18 - Registro e Files Pdf
Di seguito si riportano gli argomenti svolti a lezione, relativamente alla seconda parte del corso. Le lezioni sono svolte in aula con il tablet, e il relativo file verrà aggiunto di volta in volta (vedi Pdf).
23 Aprile 2018 - 2 ore
Riepilogo sullo studio della natura dei punti critici liberi per una funzione di più variabili, mediante l'analisi della forma quadratica associata alla matrice hessiana; caso a dimensione n maggiore di 2. Introduzione alla ottimizzazione vincolata. Regolarità delle curve definite implicitamente e teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel piano (solo idea geometrica). Funzione Lagrangiana. Metodo di parametrizzazione del vincolo. Pdf lezione
24 Aprile 2018 - 2 ore
Moltiplicatori di Lagrange a dimensione maggiore di 2. Esempi. Studio del massimo e del minimo assoluto di una funzione differenziabile su un insieme chiuso e limitato. Esercizi. Pdf lezione
02 Maggio 2018 - 2 ore
Generalità sulle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità, matrice Jacobiana e differenziale. Superfici in forma parametrica: superfici regolari, vettore normale e piano tangente in un punto. Superfici cartesiane. Superfici di rotazione. Esempi: superficie di un cilindro, di un cono, di una sfera. Pdf lezione
07 Maggio 2018 - 3 ore
Altri esempi di superfici di rotazione: toro ed ellissoide. Introduzione all'integrale di Cauchy-Riemann per una funzione di due variabili. Formule di riduzione nel caso di dominio rettangolare. Insiemi x-semplici e y-semplici. Insiemi semplici e insiemi regolari. Integrabilità di funzioni continue su insiemi regolari. Esempi. Pdf lezione
08 Maggio 2018 - 2 ore
Inversione dell'ordine di integrazione. Insiemi del piano misurabili, insiemi di misura nulla. Proprietà degli integrali doppi. Integrabilità delle funzioni continue o limitate e continue tranne un insieme di misura nulla. Simmetrie nel piano; funzioni pari e dispari rispetto ad una fissata simmetria e calcolo di integrali estesi ad insiemi regolari dotati di simmetria. Massa totale, coordinate del baricentro, momento d'inerzia di una lamina materiale. Pdf Lezione
Esercizio risolto su superfici parametriche
09 Maggio 2018 - 2 ore
Cambiamenti di coordinate in R2 e R3: coordinate polari nel piano, coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Trasformazione dell'elemento di area infinitesimo. Formula di cambiamenti di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli: integrazione per "fili". Pdf lezione
14 Maggio 2018 - 3 ore
Calcolo di integrali tripli: integrazione per "strati". Massa totale, coordinate del baricentro, momenti d'inerzia di una corpi materiali tridimensionali. Cambio di variabile negli integrali tripli. Esempi sul calcolo di integrali tripli. Campi vettoriali: generalità, operatore rotore, operatore divergenza e loro significato fisico. Pdf lezione
15 Maggio 2018 - 2 ore
Identità differenziali. Lavoro di un campo (integrale di linea di seconda specie). Proprietà di invarianza per parametrizzazioni equivalenti e di dipendenza dal verso di percorrenza del lavoro. Campi conservativi: definizione tramite funzione potenziale e proprietà di dipendenza del lavoro dai soli punti iniziale e finale. Pdf lezione
17 Maggio 2018 - 2 ore
Caratterizzazione dei campi conservativi: equivalenza tra esistenza della funzione potenziale, indipendenza dal cammino e circuitazione nulla. Condizione necessaria perché un campo sia conservativo: irrotazionalità. Esempio di campo non conservativo sul proprio dominio, ma irrotazionale. Insiemi semplicemente connessi. Esempi nel piano e nello spazio. Equivalenza tra irrotazionalità e conservatività per un campo C1 su un aperto semplicemente connesso. Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante integrazione diretta delle componenti del campo. Pdf lezione
21 Maggio 2018 - 3 ore
Determinazione del potenziale di un campo conservativo mediante il calcolo del lavoro da un punto fissato ad un punto generico. Linguaggio delle forme differenziali. Esempi ed esercizi. Definizione di integrale di superficie per una funzione di tre variabili. Area di una superfice; esempi: area di una superficie cartesiana, area di una superficie di rotazione. Applicazioni fisiche: determinazione della massa totale, delle coordinate del baricentro, dei momenti di inerzia per una lamina materiale di densità superficiale assegnata. Superfici orientabili; esempio di superficie non orientabile (nastro di Möebius), orientazione di una superficie. Bordo di una superficie. Superfici regolari a pezzi. Orientamento positivo del bordo di una superficie orientata. Pdf lezione
22 Maggio 2018 - 2 ore
Flusso di un campo attraverso una superficie orientata. Esempio: teorema di Gauss per l'elettrostatica. Teorema della divergenza (o di Gauss) e sua interpretazione fisica. Esempi di applicazione anche per superfici non chiuse. Pdf lezione
23 Maggio 2018 - 2 ore
Teorema del rotore (o di Stokes) e sua interpretazione fisica. Teorema di Gauss-Green come caso particolare del teorema del rotore per superfici piane. Esempio di applicazione del teorema di Gauss-Green nel calcolo di aree di domini regolari piani. Esempi ed esercizi. Pdf lezione
28 Maggio 2018 - 1 ora
Dalle equazioni gobali alle equazioni puntuali: esempio di applicazione del teorema della divergenza e del teorema del rotore nella derivazione delle leggi di Maxwell dell'elettromagnetismo. Esercizi sul teorema del rotore e della divergenza. Uso del teorema di Gauss-Green per verificare se un campo piano irrotazionale è conservativo. Pdf lezione